《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

13（2023·绥化肇东八中二模）如图，反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象经过$Rt\triangle OAB$斜边$OB$的中点$D$，与直角边$AB$相交于点$C$．若△OBC的面积为9，则$k =$_______．

答案： 6 [解析]设点$B$的坐标为$(a,b)$。 因为点$D$为$OB$的中点， 所以点$D$的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$。 又点$D$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上， 所以$k = \frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab$，所以$ab = 4k$。 因为$\angle BAO = 90^{\circ}$，点$C$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上， 所以$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}k$。 因为$\triangle OBC$的面积为$9$，所以$\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}k = 9$， 所以$2k-\frac{1}{2}k = 9$，所以$k = 6$。

14 如图，$A$，$B$是双曲线$y = \frac{k}{x}$（$x＞0$）上两点，$A$，$B$两点的横坐标分别为1，2，线段$AB$的延长线交$x$轴于点$C$，若△AOC的面积为6，求$k$的值.

（第14题）

答案： 作$AD\perp x$轴于$D$，$BE\perp x$轴于$E$，如图。 因为$A,B$两点的横坐标分别为$1,2$， 所以$A(1,k),B(2,\frac{k}{2})$。 设直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，将$A,B$代入，得 $\begin{cases}a + b = k\\2a + b = \frac{k}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{k}{2}\\b = \frac{3}{2}k\end{cases}$，所以$y = -\frac{k}{2}x+\frac{3}{2}k$。 令$y = 0$，得$x = 3$。所以$OC = 3$。 因为$\triangle AOC$的面积为$6$， 所以$\frac{1}{2}×3×k = 6$，所以$k = 4$。

15 如图，$A$，$B$是双曲线$y = \frac{k}{x}$上的两点，过$A$点作$AC\perp x$轴，交$OB$于$D$点，垂足为$C$，过$B$点作$BE\perp x$轴，垂足为$E$，连接$OA$，△ADO的面积为1，$D$为$OB$的中点.
（1）求四边形$CDBE$的面积；
（2）求$k$的值.

（第15题）

答案：
(1)因为$A,B$是双曲线$y = \frac{k}{x}$上的两点，$AC\perp x$轴，$BE\perp x$轴，所以$S_{\triangle AOC} = S_{\triangle BOE}$， 即$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD} = S_{\triangle COD}+S_{四边形CDBE}$。 因为$S_{\triangle AOD} = 1$，所以$S_{四边形CDBE} = S_{\triangle AOD} = 1$。
(2)设$B(2a,\frac{k}{2a})$。 因为$D$为$OB$的中点，所以$D(a,\frac{k}{4a})$。 所以$S_{四边形CDBE} = \frac{1}{2}(CD + BE)\cdot CE$ $=\frac{1}{2}(\frac{k}{4a}+\frac{k}{2a})\cdot a=\frac{3}{8}k$。 因为$S_{四边形CDBE} = 1$。 所以$\frac{3}{8}k = 1$，所以$k = \frac{8}{3}$。

16 如图，一次函数$y = -x + 6$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象交于$A$，$B$两点，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，△AOM的面积为2.5.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在$y$轴上有一点$P$，当$PA + PB$的值最小时，求点$P$的坐标.

（第16题）

答案：
(1)因为$S_{\triangle AOM} = 2.5$，所以$\frac{1}{2}|k| = 2.5$。 因为$k ＞ 0$，所以$k = 5$， 所以反比例函数的解析式为$y = \frac{5}{x}$。
(2)如图，作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，连接$BC$交$y$轴于点$P$。 因为$A,B$是两个函数图象的交点， 所以$\begin{cases}y = -x + 6\\y = \frac{5}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$，或$\begin{cases}x = 5\\y = 1\end{cases}$， 所以$A(1,5),B(5,1)$，所以$C(-1,5)$。 设直线$BC$的解析式为$y = k_{1}x + b$，代入$B,C$两点坐标，得 $\begin{cases}1 = 5k_{1}+b\\5 = -k_{1}+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1} = -\frac{2}{3}\\b = \frac{13}{3}\end{cases}$。 所以$y = -\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$，所以$P(0,\frac{13}{3})$。