《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

14 (2023·临沂罗庄区二模)电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻$R_{1}$，$R_{1}$与踏板上人的质量$m$之间的函数解析式为$R_{1}=km + b$(其中$k$，$b$为常数，$0\leqslant m\leqslant120$)，其图象如图(1)所示；图(2)的电路中，电源电压恒为$8$伏，定值电阻$R_{0}$的阻值为$20$欧，接通开关，人站上板，电压表显示的读数为$U_{0}$，该读数可以换算为人的质量$m$. (温馨提示：①导体两端的电压$U$，导体的电阻$R$，通过导体的电流$I$，满足解析式$I=\frac{U}{R}$；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压)
(1)求$R_{1}$与$m$之间的函数关系；
(2)用含$U_{0}$的代数式表示$m$；
(3)若电压表量程为$0～5$伏. 为保护电压表，请确定该电子体重秤可称质量的取值范围.

答案： （1）把(0, 240)，(120, 0)代入R₁ = km + b， 得$\begin{cases}240 = b \\ 0 = 120k + b \end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 240 \\ k = -2 \end{cases}$。
∴R₁ = -2m + 240。 （2）
∵$\frac{U_0}{20} = \frac{8 - U_0}{R_1}$，R₁ = -2m + 240，
∴$\frac{U_0}{20} = \frac{8 - U_0}{-2m + 240}$，
∴$m = 130 - \frac{80}{U_0}$。 （3）
∵电压表量程为0～5伏，
∴当U₀ = 5时，$m = 130 - \frac{80}{5} = 114$。 故该电子体重秤可称质量的取值范围为0≤m≤114.（0＜m≤114也对）

15 [阅读材料]
以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题.
公元前$3$世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂.

[问题解决]
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为$1500\ N$和$0.4\ m$.
(1)动力$F(N)$与动力臂$l(m)$有怎样的函数关系? 当动力臂为$1.5\ m$时，撬动石头需要多大的力?
(2)若想使动力$F(N)$不超过(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?
[数学思考]
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力.

答案： （1）根据“杠杆原理”，得Fl = 1500×0.4 = 600，
∴函数的解析式为$F = \frac{600}{l}$。 当l = 1.5时，$F = \frac{600}{1.5} = 400$，
∴撬动石头需要400 N的力。 （2）由（1），知Fl = 600，
∴函数解析式可以表示为$l = \frac{600}{F}$， 当F = 400×$\frac{1}{2}$ = 200时，$l = \frac{600}{200} = 3$， 3 - 1.5 = 1.5(m)。 故若想动力F(N)不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长1.5 m。 （3）因为撬棍工作原理遵循“杠杆原理”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂l的函数解析式为$F = \frac{k}{l}$，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小，所以动力臂越长越省力。