《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

1（2023·防城港二模）边长为1的8个正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线$y = k_{1}x$平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于$A$，$B$两点，过点$B$的双曲线$y=\frac{k_{2}}{x}$的一支交其中两个正方形的边于$C$，$D$两点，连接$OC$，$OD$，$CD$，则$S_{\triangle OCD}$等于( )

A. $\frac{119}{48}$
B. $\frac{119}{24}$
C. $\frac{25}{16}$
D. $\frac{25}{32}$

答案： [解析]设A(4,t). 因为直线y = k₁x平分这8个正方形所组成的图形的面积，所以$\frac{1}{2}×4×t = 4 + 1$，解得$t=\frac{5}{2}$，所以$A(4,\frac{5}{2})$。 把$A(4,\frac{5}{2})$代入直线y = k₁x中，得$4k₁=\frac{5}{2}$，解得$k₁=\frac{5}{8}$，所以直线解析式为$y=\frac{5}{8}x$。 当x = 2时，$y=\frac{5}{8}x=\frac{5}{4}$，则$B(2,\frac{5}{4})$。 因为双曲线$y=\frac{k₂}{x}$经过点B，所以$k₂ = 2×\frac{5}{4}=\frac{5}{2}$， 所以双曲线的解析式为$y=\frac{5}{2x}$。 当y = 2时，$\frac{5}{2x}=2$，解得$x=\frac{5}{4}$，则$C(\frac{5}{4},2)$； 当x = 3时，$y=\frac{5}{2x}=\frac{5}{6}$，则$D(3,\frac{5}{6})$。 所以$S_{\triangle OCD}=3×2-\frac{1}{2}×3×\frac{5}{6}-\frac{1}{2}×2×\frac{5}{4}-\frac{1}{2}×(2 - \frac{5}{6})×(3 - \frac{5}{4})=\frac{119}{48}$。故选A。

2（2023·江门蓬江区一模）如图，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于$P(m,4)$，$Q(m + 6,n)$两点.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求$\triangle POQ$的面积.

答案：
(1)把P(m,4),Q(m + 6,n)代入$y=\frac{8}{x}(x＞0)$可得m = 2,n = 1，所以P(2,4),Q(8,1)。 因为一次函数y = kx + b的图象经过点P,Q， 所以$\begin{cases}2k + b = 4\\8k + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b = 5\end{cases}$， 所以一次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 5$。
(2)如图，设一次函数的图象与x轴的交点为C。 把y = 0代入$y=-\frac{1}{2}x + 5$，解得x = 10， 所以C(10,0)，所以$S_{\triangle POQ}=S_{\triangle POC}-S_{\triangle QOC}=\frac{1}{2}×4×10-\frac{1}{2}×1×10 = 15$。

3（2023·甘肃张掖甘州中学期中）如图，一次函数$y_{1}=kx + b$的图象交坐标轴于$A$，$B$两点，交反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$的图象于$C$，$D$两点，$A(-2,0)$，$C(1,3)$.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出$y_{1}＞y_{2}$时$x$的取值范围；
(3)求$\triangle COD$的面积.

答案：
(1)将点A,C的坐标代入一次函数解析式，得$\begin{cases}-2k + b = 0\\k + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 2\end{cases}$， 故一次函数解析式为y = x + 2， 将点C的坐标代入反比例函数解析式并解得m = 3， 故反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2)由图象可知，当y₁＞y₂时，x的取值范围为 - 3＜x＜0或x＞1。
(3)联立$\begin{cases}y = x + 2\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$。 故点C,D的坐标分别为(1,3),(-3,-1)。 在y = x + 2中，令x = 0，得y = 2，所以点B(0,2)， 所以$S_{\triangle COD}=S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}OB×(x_C - x_D)=\frac{1}{2}×2×4 = 4$。

4（2023·菏泽郓城一模）反比例函数$y=\frac{2}{x}$与一次函数$y = kx + b$的交点的纵坐标如图所示，则不等式$\frac{2}{x}＞kx + b$的解集是( )

A. $x＜-1$或$0＜x＜2$
B. $x＜-2$或$0＜x＜1$
C. $-1＜x＜0$或$x＞2$
D. $-2＜x＜0$或$x＞1$

答案： [解析]根据图象可知，反比例函数$y=\frac{2}{x}$与一次函数y = kx + b的交点的纵坐标分别为1, - 2， 将交点纵坐标分别代入反比例函数解析式，得交点横坐标分别为2, - 1，所以不等式$\frac{2}{x}＞kx + b$的解集是x＜-1或0＜x＜2。故选A。

5（2022·岳阳中考）如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$与正比例函数$y = mx(m\neq0)$的图象交于点$A(-1,2)$和点$B$，点$C$是点$A$关于$y$轴的对称点，连接$AC$，$BC$.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式$\frac{k}{x}＜mx$的解集.

答案：
(1)把点A(-1,2)代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，得$2=\frac{k}{-1}$， 所以k = - 2，所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2)因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与正比例函数y = mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点B，所以A,B关于原点对称，所以B(1,-2)。 因为点C是点A关于y轴的对称点， 所以C(1,2)，所以AC = 2，BC = 4，∠C = 90°， 所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×4 = 4$。
(3)根据图象，得不等式$\frac{k}{x}＜mx$的解集为x＜-1或0＜x＜1。