《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

18.（1）通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①$\sin30^{\circ}$___$2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}$；
②$\sin36^{\circ}$___$2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}$；
③$\sin45^{\circ}$___$2\sin22.5^{\circ}\cos22.5^{\circ}$；
④$\sin60^{\circ}$___$2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}$；
⑤$\sin80^{\circ}$___$2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}$。
猜想：已知$0^{\circ}\lt\alpha\lt45^{\circ}$，则$\sin2\alpha$________$2\sin\alpha\cos\alpha$。
（2）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，$\angle BAC = 2\alpha$，请根据提示，利用面积方法验证结论。

答案： =@@=@@=@@=@@=@@=@@
(2)
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\times\sin2\alpha\times AC=\frac{1}{2}\sin2\alpha$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2AB\sin\alpha\times AC\cos\alpha=\sin\alpha\cdot\cos\alpha$，
∴$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$。

19.（1）如图（1），（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，也随其变化而变化。试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较$18^{\circ}$，$34^{\circ}$，$50^{\circ}$，$62^{\circ}$，$88^{\circ}$这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小（在空格处填写“＜”“＞”或“＝”）：
若$\alpha = 45^{\circ}$，则$\sin\alpha$________$\cos\alpha$；
若$0^{\circ}\lt\alpha\lt45^{\circ}$，则$\sin\alpha$________$\cos\alpha$；
若$45^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$，则$\sin\alpha$________$\cos\alpha$；
（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：
$\sin10^{\circ}$，$\cos30^{\circ}$，$\sin50^{\circ}$，$\cos70^{\circ}$。

答案：
(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小。
(2)$\sin18^{\circ}＜\sin34^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\sin62^{\circ}＜\sin88^{\circ}$，$\cos88^{\circ}＜\cos62^{\circ}＜\cos50^{\circ}＜\cos34^{\circ}＜\cos18^{\circ}$。
(3)= ＜ ＞
(4)$\sin10^{\circ}＜\cos70^{\circ}＜\sin50^{\circ}＜\cos30^{\circ}$。