《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

18. （2023·湘西州中考）如图，点$A$在函数$y = \frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，点$B$在函数$y = \frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，且$AB// x$轴，$BC\perp x$轴于点$C$，则四边形$ABCO$的面积为（ ）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
[解析]如图，延长BA交y轴于点D。 因为AB//x轴，所以BD⊥y轴。 因为点A在函数$y=\frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象上，所以$S_{\triangle ADO}=\frac{1}{2}×2=1$。 因为BC⊥x轴于点C，BD⊥y轴，点B在函数$y=\frac{3}{x}(x ＞ 0)$的图象上，所以$S_{矩形OCBD}=3$，所以$S_{四边形ABCO}=S_{矩形OCBD}-S_{\triangle ADO}=3 - 1=2$。故选B。

19. （2023·黄冈中考）如图，一次函数$y_1 = kx + b(k\neq0)$与函数$y_2 = \frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于$A(4,1)$，$B(\frac{1}{2},a)$两点.
- （1）求这两个函数的解析式；
- （2）根据图象，直接写出满足$y_1 - y_2＞0$时$x$的取值范围；
- （3）点$P$在线段$AB$上，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，交函数$y_2$的图象于点$Q$，若$\triangle POQ$面积为$3$，求点$P$的坐标.

答案： （1）因为反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点A(4,1)，所以$1=\frac{m}{4}$，所以m = 4。 所以反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac{4}{x}(x ＞ 0)$。 把$B(\frac{1}{2},a)$代入$y_{2}=\frac{4}{x}(x ＞ 0)$，得a = 8，所以点B的坐标为$(\frac{1}{2},8)$。 因为一次函数y₁ = kx + b的图象经过A(4,1)，$B(\frac{1}{2},8)$，所以$\begin{cases}4k + b = 1\\\frac{1}{2}k + b = 8\end{cases}$，所以$\begin{cases}k=-2\\b = 9\end{cases}$。 所以一次函数的解析式为y₁ = -2x + 9。 （2）由y₁ - y₂ ＞ 0，得y₁ ＞ y₂，即反比例函数值小于一次函数值。 由图象可得$\frac{1}{2}＜x＜4$。 （3）由题意，设P(p,-2p + 9)且$\frac{1}{2}≤p≤4$，所以$Q(p,\frac{4}{p})$，所以$PQ=-2p + 9-\frac{4}{p}$。 所以$S_{\triangle POQ}=\frac{1}{2}(-2p + 9-\frac{4}{p})·p = 3$，解得$p_{1}=\frac{5}{2}$，p₂ = 2。 所以点P的坐标为$(\frac{5}{2},4)$或(2,5)。

20. [开放探究性问题]在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程. 在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象. 同时，我们也学习过绝对值的意义$|a|=\begin{cases}a(a\geqslant0)\\ - a(a＜0)\end{cases}$.
结合上面经历的学习过程来解决下面的问题：在函数$y = |kx - 1|+b$中，当$x = 0$时，$y = - 2$；当$x = 1$时，$y = - 3$.
- （1）求这个函数的表达式；
- （2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象，并写出这个函数的两条性质；
- （3）函数$y = -\frac{3}{x}$的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式$|kx - 1|+b\leqslant-\frac{3}{x}$的解集.

答案：
（1）因为在函数y = |kx - 1| + b中，当x = 1时，y = -3；当x = 0时，y = -2，所以$\begin{cases}-3=|k - 1| + b\\-2=1 + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b=-3\end{cases}$。 所以这个函数的解析式是y = |x - 1| - 3。 （2）列表如下： | x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | y | … | 0 | -1 | -2 | -3 | -2 | -1 | 0 | … | 描点、连线，函数y = |x - 1| - 3的图象如图所示。 !性质1：当x ＞ 1时，y随x的增大而增大；当x ＜ 1时，y随x的增大而减小。 性质2：函数的最小值为-3.（答案不唯一） （3）1≤x≤3或-3≤x ＜ 0。