《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

12 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$.
（1）若已知$\angle A = 30^{\circ}$，$CD = a$，求$AC$和$BC$的长；
（2）若已知$\angle A = \alpha$，$CD = a$，求$AC$和$BC$的长.（结果用含$\alpha$和$a$的算式表示）

答案： （1）$AC = 2a$，$BC=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$。 （2）$AC=\frac{a}{\sin\alpha}$，$BC=\frac{a}{\cos\alpha}$。

13 如图，在$\text{Rt}\triangle BCD$中，$\angle BDC = 45^{\circ}$，延长$CD$到点$A$，连接$AB$，$\angle A = 22.5^{\circ}$，求$\tan 22.5^{\circ}$的值（结果保留根号）.

答案： $\because\angle A = 22.5^{\circ}$，$\angle BDC = 45^{\circ}$， $\therefore\angle ABD = 22.5^{\circ}$，$\therefore AD = BD$。 设$BC = x$，在$Rt\triangle BDC$中， $\because\angle BDC = 45^{\circ}$，$\therefore AD = BD=\sqrt{2}BC=\sqrt{2}x$， $\therefore DC = BC = x$， $\therefore AC = AD + DC=\sqrt{2}x+x=(\sqrt{2}+1)x$。 在$Rt\triangle ABC$中，$\tan22.5^{\circ}=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}-1$。

14（2023·河南洛阳宜阳期末）如图，在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$a = 4$，$b = 4\sqrt{3}$，求$\angle A$，$\angle B$和边$c$.

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a = 4$，$b = 4\sqrt{3}$， $\therefore\tan B=\frac{b}{a}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，$\therefore\angle B = 60^{\circ}$。 $\because\angle A+\angle B = 90^{\circ}$， $\therefore\angle A = 90^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$， $\therefore c = AB = 2BC = 2\times4 = 8$。 故$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$c = 8$。

15 小陆在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果$\alpha$，$\beta$都为锐角，且$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，$\tan\beta=\frac{1}{3}$. 求$\alpha+\beta$的度数.
（1）小敏是这样解决问题的：如图（1），把$\alpha$，$\beta$放在正方形网格中，使得$\angle ABD=\alpha$，$\angle CBD=\beta$，且$BA$，$BC$在直线$BD$的两侧，连接$AC$，可证得$\triangle ABC$是等腰直角三角形，因此可求得$\alpha+\beta=\angle ABC =$_______.
（2）请你参考小敏思考问题的方法解决问题：如果$\alpha$，$\beta$都为锐角，当$\tan\alpha = 4$，$\tan\beta=\frac{3}{5}$时，在图（2）的正方形网格中，利用已作出的锐角$\alpha$，画出$\angle MON=\alpha-\beta$，由此可得$\alpha-\beta =$_______.

答案：
$45^{\circ}$@@$45^{\circ}$ [解析]画出$\angle MON=\alpha-\beta$如图所示， 由此可得$\alpha-\beta = 45^{\circ}$。

16 要求$\tan 30^{\circ}$的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作$\text{Rt}\triangle ABC$，使$\angle C = 90^{\circ}$，斜边$AB = 2$，直角边$AC = 1$，那么$BC=\sqrt{3}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$\tan 30^{\circ}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出$\tan 15^{\circ}$的值. 请你写出添加辅助线的方法，并求出$\tan 15^{\circ}$的值.

答案： 添加辅助线的方法不唯一，如延长$CB$到点$D$，使$BD = AB = 2$，连接$AD$，则$\angle D = 15^{\circ}$。$\tan15^{\circ}=\frac{AC}{DC}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。