《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

7. [跨学科综合]（2023·深圳中考）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能（1.025 - cosα）J，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能（ ）．（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

A. 58 J
B. 159 J
C. 1 025 J
D. 1 732 J

答案： B [解析]由题意，得某人爬了1000 m，该坡角为$30^{\circ}$，则他耗能$1000\times(1.025-\cos30^{\circ}) = 1000\times(1.025-\frac{\sqrt{3}}{2})\approx159$（J）。故选B。

8. （2023·十堰中考）如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB = 45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D = 30°，则CD的长度约为（ ）．（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

A. 1.59米
B. 2.07米
C. 3.55米
D. 3.66米

答案： D

9. （2023·泰安岱岳区一模）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80海里，则C岛到航线AB的最短距离是________海里．

答案： $20\sqrt{3}$

10. （2022·丽水二模）如图，从点A测得M村在北偏东30°方向，小明从点A沿北偏东60°方向步行800米达到C处，测得M村位于点C的北偏西75°方向，若在AC上找点N，使得MN最短，AN的长是________米．

答案：
$400(3 - \sqrt{3})$ [解析]如图，过点M作$MN\perp AC$于点N。 依据题意，得$\angle MAN = 60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle BCM = 75^{\circ}$，$\angle DCA = 60^{\circ}$，$AC = 800$米，所以$\angle MCN = 180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$，则$MN = CN$。 设$MN = NC = x$米，则$AN=(800 - x)$米， 在$Rt\triangle AMN$中，$\tan30^{\circ}=\frac{MN}{AN}=\frac{x}{800 - x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$， 解得$x = 400(\sqrt{3}-1)$。 经检验，$x = 400(\sqrt{3}-1)$是原分式方程的解且符合题意，所以$AN = 800 - 400(\sqrt{3}-1)=400(3 - \sqrt{3})$米。 方法技巧：对于不易直接求解的问题，我们可以利用数形结合思想与方程思想，结合三角函数或勾股定理列方程求解。

11. （2023·朝阳双塔区三模）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6 m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长．（结果精确到0.1 m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，$\sqrt{3}$≈1.73）

答案： 在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABD = 30^{\circ}$，$AD = 6$m，所以$BD=\frac{AD}{\tan\angle ABD}=\frac{6}{\tan30^{\circ}} = 6\sqrt{3}$（m）。 在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ACD = 16^{\circ}$，$AD = 6$m，所以$CD=\frac{AD}{\tan\angle ACD}=\frac{6}{\tan16^{\circ}}\approx20.69$（m）， 则$BC = CD - BD = 20.69 - 6\sqrt{3}\approx10.3$（m）。 故改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长约为10.3 m。

12. （2023·内蒙古中考）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A. B点在A点的南偏东25°方向3$\sqrt{2}$ km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．

答案：
（1）由题意，得$\angle NAC = 80^{\circ}$，$\angle BAS = 25^{\circ}$，所以$\angle CAB = 180^{\circ}-\angle NAC-\angle BAS = 75^{\circ}$。 因为$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle CAB-\angle ABC = 60^{\circ}$，所以行进路线BC和CA所在直线的夹角$\angle BCA$为$60^{\circ}$。 （2）如图，过点A作$AD\perp BC$，垂足为D。 在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 3\sqrt{2}$km，$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$AD = AB\cdot\sin45^{\circ}=3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3$（km），$BD = AB\cdot\cos45^{\circ}=3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3$（km）。 在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$CD=\frac{AD}{\tan60^{\circ}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$（km）， 所以$BC = BD + CD=(3+\sqrt{3})$km。 故检查点B和C之间的距离为$(3+\sqrt{3})$km。