《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

10. [开放探究性问题]（2022·河北石家庄二十三中期未）反比例函数$y = \frac{k}{x}(x\lt0,k\lt0)$和$y = \frac{3}{x}(x\lt0)$的图象如图所示，点$P(m,0)$是$x$轴上一动点，过点$P$作直线$AB\perp x$轴，交两图象分别于$A$，$B$两点.
- （1）当$m = - 1$，线段$AB = 9$时，求点$A$，$B$的坐标及$k$值.
- （2）雯雯同学提出一个大胆的猜想：“当$k$一定时，$\triangle OAB$的面积随$m$值的增大而增大.”你认为她的猜想对吗？说明理由.
- [此处有第10题的函数图象]

答案：

11. （2022·江门新会区东方红中学模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(10,0)$，$OA$绕点$O$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$OB$，连接$AB$，双曲线$y = \frac{k}{x}(x\gt0)$分别与$AB$，$OB$交于点$C$，$D$（$C$，$D$不与点$B$重合）. 若$CD\perp OB$，则$k$的值为________.
- [此处有第11题的函数图象]

答案： $9\sqrt{3}$

12. （2023·安徽中考）如图，$O$是坐标原点，$Rt\triangle OAB$的直角顶点$A$在$x$轴的正半轴上，$AB = 2$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\gt0)$的图象经过斜边$OB$的中点$C$.
- （1）$k =$________；
- （2）$D$为该反比例函数图象上的一点，若$DB// AC$，则$OB^2 - BD^2$的值为________.
- [此处有第12题的函数图象]

答案： $\sqrt{3}$@@$4$

13. （2022·遂宁中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”. 例如$( - 1,1)$，$(2022, - 2022)$都是“黎点”.
- （1）求双曲线$y = \frac{-9}{x}$上的“黎点”；
- （2）若抛物线$y = ax^2 - 7x + c$（$a$，$c$为常数）上有且只有一个“黎点”，当$a\gt1$时，求$c$的取值范围.

答案： 13. -
(1)设双曲线\(y = \frac{-9}{x}\)上的“黎点”为\((m,-m)\)，则有\(-m=\frac{-9}{m}\)，解得\(m=\pm3\). 所以双曲线\(y = \frac{-9}{x}\)上的“黎点”为\((3,-3)\)或\((-3,3)\). -
(2)因为抛物线\(y = ax^2 - 7x + c(a,c\)为常数\()\)上有且只有一个“黎点”，所以方程\(ax^2 - 7x + c = - x\)有且只有一个解，即\(ax^2 - 6x + c = 0\)，\(\Delta = 36 - 4ac = 0\)，所以\(ac = 9\). 所以\(a=\frac{9}{c}\). 因为\(a\gt1\)，所以\(0\lt c\lt9\). 

14. （2023·株洲中考）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，四边形$OABC$为正方形，其中点$A$，$C$分别在$x$轴负半轴，$y$轴负半轴上，点$B$在第三象限内，点$A(t,0)$，点$P(1,2)$在函数$y = \frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)$的图象上.
- （1）求$k$的值；
- （2）连接$BP$，$CP$，记$\triangle BCP$的面积为$S$，设$T = 2S - 2t^2$，求$T$的最大值.
- [此处有第14题的函数图象]

答案： 14. -
(1)因为点\(P(1,2)\)在函数\(y = \frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)\)的图象上，所以\(2=\frac{k}{1}\)，所以\(k = 2\)，即\(k\)的值为2. -
(2)因为点\(A(t,0)\)在\(x\)轴的负半轴上，所以\(OA=-t\). 因为四边形\(OABC\)为正方形，所以\(OC = BC = OA=-t\)，\(BC\parallel x\)轴，所以\(S=\frac{1}{2}\times(-t)\times(2 - t)=\frac{1}{2}t^2 - t\)，所以\(T = 2S-2t^2=2(\frac{1}{2}t^2 - t)-2t^2=-t^2 - 2t=-(t + 1)^2+1\). 因为\(-1\lt0\)，所以抛物线开口向下，所以当\(t = - 1\)时，\(T\)有最大值，\(T\)的最大值是1.