《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

16（2023·泰安六中二模）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y = 2x + 4$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象相交于$A(a,-2)$，$B$两点.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求$\triangle AOB$的面积；
(3)在反比例函数第一象限图象上是否存在一点$C$，使得$\triangle ABC$的面积是$\triangle AOB$面积的一半? 如果存在，请直接写出点$C$的横坐标.

答案：
16. - （1）因为一次函数图象经过点$A(a,-2)$，所以$2a + 4 = -2$，解得$a = -3$，所以$A(-3,-2)$。因为$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$A(-3,-2)$，所以$k = -3×(-2)=6$，故反比例函数的解析式为$y = \frac{6}{x}$。 - （2）联立$\begin{cases}y = 2x + 4\\y = \frac{6}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -3\\y = -2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = 6\end{cases}$，所以$B(1,6)$。设直线$y = 2x + 4$与$x$轴相交于点$D$，连接$OA$，$OB$，如图（1）。
令$y = 0$，则$2x + 4 = 0$，解得$x = -2$，所以$D(-2,0)$，所以$OD = 2$。所以$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle BOD}+S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}OD\cdot|y_B|+\frac{1}{2}OD\cdot|y_A|=\frac{1}{2}×2×6+\frac{1}{2}×2×2 = 8$。 - （3）存在，点$C$的横坐标为$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$或$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$。设直线$y = 2x + 4$与$y$轴相交于点$M$。令$x = 0$，则$y = 4$，所以$M(0,4)$。如图（2），过点$O$作$l_1∥AB$，在点$M$的下方取点$N$，使得$MN = \frac{1}{2}OM$，过点$N$作$l_2∥AB$与反比例函数在第一象限相交于点$C$，连接$AC$，$BC$，此时$l_2$到$AB$的距离是$l_1$到$AB$的距离的一半，即点$C$到$AB$的距离是点$O$到$AB$的距离的一半，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$。因为$N$是$OM$的中点，所以$N(0,2)$。因为$l_2∥AB$，且经过点$N$，所以$l_2$的解析式为$y = 2x + 2$。联立$\begin{cases}y = 2x + 2\\y = \frac{6}{x}\end{cases}$，整理，得$x^2 + x - 3 = 0$，解得$x = \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$或$x = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$。因为点$C$在第一象限，所以点$C$的横坐标为$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$；如图（3），在点$M$的上方取点$P$，使得$PM = \frac{1}{2}OM$，过点$O$作$l_1∥AB$，过点$P$作$l_3∥AB$与反比例函数在第一象限相交于点$C$，连接$AC$，$BC$，此时$l_3$到$AB$的距离是$l_1$到$AB$的距离的一半，即点$C$到$AB$的距离是点$O$到$AB$的距离的一半。
同理可得，$l_3$的解析式为$y = 2x + 6$。联立$\begin{cases}y = 2x + 6\\y = \frac{6}{x}\end{cases}$，整理，得$x^2 + 3x - 3 = 0$，解得$x = \frac{-3-\sqrt{21}}{2}$或$x = \frac{-3+\sqrt{21}}{2}$，因为点$C$在第一象限，所以点$C$的横坐标为$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$。综上可知，存在一点$C$，使得$\triangle ABC$的面积是$\triangle AOB$面积的一半，点$C$的横坐标为$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$或$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$。

17（2022·临沂中考）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力$\times$阻力臂$=$动力$\times$动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图(1)）.制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1 cm），确定支点$O$，并用细麻绳固定，在支点$O$左侧2 cm的$A$处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5 kg的金属物体作为秤砣.
(1)图(1)中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点$O$右侧的$B$处，秤杆平衡，就能称得重物的质量.当重物的质量变化时，$OB$的长度随之变化.设重物的质量为$x$ kg，$OB$的长为$y$ cm.写出$y$关于$x$的函数解析式.若$0 ＜ y ＜ 48$，求$x$的取值范围；
(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点$O$右侧的$B$处，使秤杆平衡，如图(2).设重物的质量为$x$ kg，$OB$的长为$y$ cm，写出$y$关于$x$的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象.

答案：
17. - （1）因为阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，所以重物×$OA$ = 秤砣的质量×$OB$。因为$OA = 2cm$，重物的质量为$xkg$，$OB$的长为$ycm$，秤砣的质量为$0.5kg$，所以$2x = 0.5y$，所以$y = 4x$。因为$4 > 0$，所以$y$随$x$的增大而增大。因为当$y = 0$时，$x = 0$；当$y = 48$时，$x = 12$，所以$0 < x < 12$。 - （2）因为阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，所以秤砣的质量×$OA$ = 重物的质量×$OB$。因为$OA = 2cm$，重物的质量为$xkg$，$OB$的长为$ycm$，秤砣的质量为$0.5kg$，所以$2×0.5 = xy$，所以$y = \frac{1}{x}$。当$x = 0.25$时，$y = \frac{1}{0.25}=4$；当$x = 0.5$时，$y = \frac{1}{0.5}=2$；当$x = 1$时，$y = 1$；当$x = 2$时，$y = \frac{1}{2}$；当$x = 4$时，$y = \frac{1}{4}$。作函数图象如图。
 - 方法技巧：利用描点法（列表、描点、连线）画函数图象，利用实际问题中两个变量的关系确定函数模型，求出函数解析式。