《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

9 (2023·广东河源紫金期末)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 12\mathrm{cm}$，$BC = 24\mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$开始沿着边$AB$向点$B$以$2\mathrm{cm/s}$的速度移动(不与点$B$重合)，动点$Q$从点$B$开始沿着边$BC$向点$C$以$4\mathrm{cm/s}$的速度移动(不与点$C$重合). 若$P$，$Q$两点同时移动.
(1)当移动几秒时，$\triangle BPQ$的面积为$20\mathrm{cm}^2$?
(2)当移动几秒时，四边形$APQC$的面积为$108\mathrm{cm}^2$?
(3)当移动几秒时，$\triangle BPQ$与$\triangle ABC$相似?

答案： 设运动时间为$t\ s(0\leq t\lt6)$，则$PB=(12 - 2t)\ cm$，$BQ = 4t\ cm$。
(1)由题意，得$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}PB\cdot BQ=\frac{1}{2}\times(12 - 2t)\cdot4t = 24t - 4t^{2}=20$， 解得$t_1 = 1$，$t_2 = 5$。 故当移动$1\ s$或$5\ s$时，$\triangle BPQ$的面积为$20\ cm^{2}$。
(2)由题意，$S_{四边形APQC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}AB\cdot BC-(24t - 4t^{2})=4t^{2}-24t + 144 = 108$，解得$t_1 = t_2 = 3$。 故当移动$3\ s$时，四边形$APQC$的面积为$108\ cm^{2}$。
(3)可分以下两种情况讨论： ①当$\triangle BPQ\sim\triangle BAC$时，$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$， 即$\frac{12 - 2t}{12}=\frac{4t}{24}$，解得$t = 3$； ②当$\triangle BPQ\sim\triangle BCA$时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$， 即$\frac{12 - 2t}{24}=\frac{4t}{12}$，解得$t=\frac{6}{5}$。 综上所述，当移动$3\ s$或$\frac{6}{5}\ s$时，$\triangle BPQ$与$\triangle ABC$相似。

10 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形. 如图，$\triangle ABC$是格点三角形，在图中的$6\times6$正方形网格中作出格点三角形$ADE$(不含$\triangle ABC$)，使得$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$(同一位置的格点三角形$ADE$只算一个)，这样的格点三角形一共有( ).


A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个

答案： C

11 (2023·石家庄一模)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$BC = 6$，$AC = 5$，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，且$BD = 4$. 若以$C$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似，则$AE$的长度为( ).

A. $\frac{10}{3}$
B. $\frac{13}{5}$
C. $\frac{13}{5}$或$\frac{10}{3}$
D. $\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$

答案： C

12 (2023·合肥一模)如图，在$4\times4$的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
(1)则$\angle ABC =$_______$^{\circ}$，$BC =$_______；
(2)判断$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是否相似，若相似，请说明理由.

答案：
(1) $135$ $2\sqrt{2}$ [解析]观察图象可知，$\angle ABC = 135^{\circ}$，$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$。
(2) $\triangle ABC\sim\triangle DEF$。理由如下： 因为$AB = 2$，$BC = 2\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{2}$，$EF = 2$， 所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\sqrt{2}$。 因为$\angle ABC=\angle DEF$，所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。

13 (2023·广东广州番禺区期末)如图，已知$AD\cdot AC = AB\cdot AE$，$\angle DAE = \angle BAC$.
求证：$\triangle DAB\backsim\triangle EAC$.

答案： 因为$AD\cdot AC = AB\cdot AE$，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$。 因为$\angle DAE=\angle BAC$， 所以$\angle DAE-\angle BAE=\angle BAC-\angle BAE$， 所以$\angle DAB=\angle EAC$，所以$\triangle DAB\sim\triangle EAC$。