《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

1. （2023·保定顺平安阳中学模拟）如图，佳佳在点A测得点B在北偏东62°方向上，在点C测得点B在北偏东34°方向上，若AC = 100，则点B到AD的距离为（ ）．

A. 100sin28°
B. 100sin56°
C. $\frac{100}{\sin56^{\circ}}$
D. $\frac{100}{\sin28^{\circ}}$

答案： B

2. （2023·眉山中考）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________海里．

答案： $6\sqrt{3}+6$

3. （2023·湖北咸宁咸安区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．“远航”号沿北偏东60°方向航行，每小时航行16海里；“海天”号沿北偏西30°方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，求此时两轮船相距多少海里．

答案： 由题意，得$\angle SPQ = 60^{\circ}$，$\angle RPS = 30^{\circ}$， 所以$\angle RPQ=\angle SPQ+\angle RPS = 30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$，即$\triangle RPQ$为直角三角形。 一个半小时后，$PR = 12\times1.5 = 18$（海里），$PQ = 16\times1.5 = 24$（海里），在$Rt\triangle RPQ$中，$RQ=\sqrt{PR^{2}+PQ^{2}}=\sqrt{18^{2}+24^{2}} = 30$（海里），所以此时两轮船相距30海里。

4. （2023·金华浦江模拟）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB = 2 m. 已知木箱高BE = 1 m，斜面坡角为α度，则木箱端点E距地面的高度为（ ）．

A. （2tanα + cosα）米
B. （2tanα + sinα）米
C. （2sinα + cosα）米
D. （2sinα + tanα）米

答案： C

5. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i = 1∶5，则AC的长度是________cm.

答案： 210

6. 汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30厘米，斜坡AB的坡度i = 1∶1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i = 1∶$\sqrt{5}$，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

答案：
如图，过点A作$AH\perp BC$于点H，过点E作$EG\perp BC$于点G，则四边形EGHA是矩形，所以$EG = AH$，$GH = AE = 2$米。 因为斜坡AB的坡度$i = 1:1$，所以$AH = BH = 30\times30 = 900$（厘米）$= 9$米，所以$BG = BH - HG = 7$米。 因为斜坡EF的坡度$i = 1:\sqrt{5}$，所以$FG = 9\sqrt{5}$米，所以$BF = FG - BG=(9\sqrt{5}-7)$米， 所以$S_{梯形ABFE}=\frac{1}{2}\times(2 + 9\sqrt{5}-7)\times9=\frac{81\sqrt{5}-45}{2}$（平方米）， 所以共需土石为$\frac{81\sqrt{5}-45}{2}\times200 = 900(9\sqrt{5}-5)$立方米。