《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

12（2023·宁德寿宁模拟）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 4$cm，$BC = 8$cm，在$\triangle ABC$的内部作一个矩形$DBFE$，其中$DB$，$BF$在两直角边上，设矩形的一边$BF = x$cm.
(1)$AD =$_______. $BD =$_______.
(2)设矩形$DBFE$的面积为$y$ $cm^{2}$，
①求$y$与$x$的解析式；
②当$x$取何值时，$y$的值最大? 最大值是多少?

答案： 1）因为矩形\(DBFE\)在\(\triangle ABC\)内部，\(BF = x cm\)，所以\(DE\parallel BC\)，\(DE = BF = x cm\)，\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)。在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle B = 90^{\circ}\)，\(AB = 4 cm\)，\(BC = 8 cm\)，则\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\)，即\(\frac{x}{8}=\frac{AD}{4}\)，解得\(AD=\frac{x}{2}cm\)，\(BD = AB - AD=(4 - \frac{x}{2})cm\)。 - （2）①\(y = BD\cdot BF=(4 - \frac{x}{2})x=-\frac{1}{2}x^{2}+4x\)；②当\(x = \frac{-4}{2×(-\frac{1}{2})}=4\)时，\(y\)值最大为8。

13 在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 9$，点$D$在边$AB$所在的直线上，且$AD = 2$，过点$D$作$DE// BC$交边$AC$所在直线于点$E$，求$CE$的长.

答案：
 - 当点D在边AB上时，\(AB = 6\)，\(AC = 9\)，\(AD = 2\)，则\(BD = AB - AD = 4\)。因为\(DE\parallel BC\)，所以\(\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}\)，即\(\frac{4}{6}=\frac{CE}{9}\)，解得\(CE = 6\)。
 - 当点D在边BA的延长线上时，\(AB = 6\)，\(AC = 9\)，\(AD = 2\)，则\(BD = AB + AD = 8\)。因为\(DE\parallel BC\)，所以\(\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}\)，即\(\frac{8}{6}=\frac{CE}{9}\)，解得\(CE = 12\)。所以\(CE\)长为6或12。 

14 (1)如图(1)，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$Q$分别在$AB$，$AC$，$BC$上，且$DE// BC$，$AQ$交$DE$于点$P$. 求证：$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$.
(2)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，正方形$DEFG$的四个顶点在$\triangle ABC$的边上，连接$AG$，$AF$分别交$DE$于$M$，$N$两点.
①如图(2)，若$AB = AC = 1$，直接写出$MN$的长；
②如图(3)，求证：$MN^{2}=DM\cdot EN$.

答案： 1）因为\(DP\parallel BQ\)，所以\(\triangle ADP\sim\triangle ABQ\)，\(\frac{DP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}\)，同理\(\frac{PE}{QC}=\frac{AP}{AQ}\)，所以\(\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}\)。 - （2）①答案为\(\frac{\sqrt{2}}{9}\)；②因为\(\angle B+\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle CEF+\angle C = 90^{\circ}\)，所以\(\angle B=\angle CEF\)，又\(\angle BGD=\angle EFC\)，所以\(\triangle BGD\sim\triangle EFC\)，\(\frac{DG}{CF}=\frac{BG}{EF}\)，\(DG\cdot EF = CF\cdot BG\)。又\(DG = GF = EF\)，所以\(GF^{2}=CF\cdot BG\)。由（1）结论可得\(\frac{DM}{BG}=\frac{MN}{GF}=\frac{EN}{CF}\)，所以\((\frac{MN}{GF})^{2}=\frac{DM}{BG}\cdot\frac{EN}{CF}\)，即\(MN^{2}=DM\cdot EN\)。