《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. ★★ (2025·江苏无锡高一期中)已知幂函数$ f(x)=x^{\alpha} $图象过点$ (4,2) $,则下列命题中正确的有(AD)

A.$ \alpha=\dfrac{1}{2} $
B.函数$ f(x) $的定义域为$ (0,+\infty) $
C.函数$ f(x) $为偶函数
D.若$ x\gt1 $,则$ f(x)\gt1 $

答案： 9.AD 解析：$\because$幂函数$f(x)=x^{\alpha}$图象过点$(4,2)$，$\therefore4^{\alpha}=2$，即$\alpha=\frac{1}{2}$，$\therefore f(x)=x^{\frac{1}{2}}$，故$A$正确；又函数的定义域为$[0,+\infty)$，故$B$错误；函数为非奇非偶函数，故$C$错误；当$x＞1$时，$f(x)=x^{\frac{1}{2}}＞1$，故$D$正确.故选$AD$.

10. ★★★ (2025·江苏苏州高一月考)已知函数$ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-2ax + 2) $,则以下说法正确的是(ABD)

A.$ \exists a\in\mathbf{R} $,使得$ f(x) $为偶函数
B.若$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $,则$ a\in(-\sqrt{2},\sqrt{2}) $
C.若$ f(x) $在区间$ (-\infty,1) $上单调递增,则$ a $的取值取值范围是$ [1,+\infty) $
D.若$ f(x) $的值域是$ (-\infty,2] $,则$ a\in\left\{-\dfrac{\sqrt{7}}{2},\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right\} $

答案： 10.ABD 解析：对于$A$，在$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-2ax + 2)$中，取$a = 0$，则$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}+2)$，此时函数的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}+2)=f(x)$，即$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}+2)$为偶函数，故$A$正确；对于$B$，因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，则$x^{2}-2ax + 2＞0$恒成立，即$\Delta=(-2a)^{2}-8＜0$，解得$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$，故$B$正确；对于$C$，令$g(x)=x^{2}-2ax + 2$，因为$y=\log_{\frac{1}{2}}x$在定义域上单调递减，故要使函数$f(x)$在区间$(-\infty,1)$上单调递增，则需使$g(x)=x^{2}-2ax + 2$在$(-\infty,1)$上单调递减且恒大于$0$，故有$\begin{cases}a\geq1,\\g(1)=3 - 2a\geq0,\end{cases}$解得$1\leq a\leq\frac{3}{2}$，故$C$错误；对于$D$，因为$f(x)$的值域是$(-\infty,2]$，即$f(x)_{\max}=2$，由复合函数的单调性可知，此时$g(x)_{\min}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，由$g(x)=x^{2}-2ax + 2=(x - a)^{2}+2 - a^{2}$知$g(x)_{\min}=g(a)=2 - a^{2}=\frac{1}{4}$，解得$a=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，即$a\in\{-\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{\sqrt{7}}{2}\}$，故$D$正确.故选$ABD$.

11. ★★ (2025·江苏南通启东中学高一月考)如图,已知过原点$ O $的直线与函数$ y = 3^{x} $的图象交于$ A,B $两点,设$ A,B $的横坐标分别为$ x_{1},x_{2} $,分别过$ A,B $作$ x $轴的平行线与函数$ y = (\sqrt{3})^{x} $的图象交于$ C,D $两点.若$ BC// y $轴,则(ACD)


A.$ x_{2}=2x_{1} $
B.$ x_{2}=\log_{3}2 $
C.$ BD = 2AC $
D.$ BC = 2 $

答案： 11.ACD 解析：设$A(x_{1},3^{x_{1}})$，$B(x_{2},3^{x_{2}})$，$l_{AB}:y = kx(k＞0)$，由题意可知$C(x_{2},\frac{x_{2}}{2})$，$D(x_{D},3^{x_{2}})$，$(\sqrt{3})^{x_{D}}=3^{x_{2}}$，$x_{2}=\frac{x_{D}}{2}$，则有$\begin{cases}3^{x_{1}}=kx_{1},\\3^{x_{2}}=kx_{2},\end{cases}\Rightarrow\frac{3^{x_{2}-1}}{3^{x_{1}}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}\Rightarrow x_{1}=\log_{3}2$，$x_{2}=2\log_{3}2$，$A$正确；$B$错误；$BD=x_{D}-x_{2}=2x_{2}-x_{2}=x_{2}=2\log_{3}2$，$AC=x_{2}-x_{1}=x_{1}=\log_{3}2$，$BD = 2AC$，$C$正确；$BC=3^{x_{2}}-3^{x_{1}}=3^{2\log_{3}2}-3^{\log_{3}2}=4 - 2 = 2$，$D$正确.故选$ACD$.

12. ★★ (2025·江苏南通高一月考)已知函数$ f(x)=x+\dfrac{mx}{\mathrm{e}^{x}-1} $是偶函数,则$ m = $2 .

答案： 12.2 解析：由题意可知，函数的定义域为$\{x|x\neq0\}$，且$f(x)-f(-x)=x+\frac{mx}{e^{x}-1}-(-x+\frac{-mx}{e^{-x}-1})=2x+\frac{mx}{e^{x}-1}+\frac{mx}{e^{-x}-1}=0$，故$2+\frac{m}{e^{x}-1}+\frac{m}{e^{-x}-1}=0$，进而$2+\frac{m(1 - e^{x})}{e^{x}-1}=0\Rightarrow2 - m = 0$，故$m = 2$.故答案为$2$.

13. ★★★ (2025·江苏扬州高一月考)幂函数$ f(x)=x^{\alpha}(\alpha\in\mathbf{R}) $满足:对任意$ x\in\mathbf{R} $有$ f(-x)=f(x) $,且$ f(-1)\lt f(2)\lt2 $,请写出符合上述条件的一个函数$ f(x)= $_ .

答案： 13.$x^{\frac{2}{3}}$（答案不唯一） 解析：取$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$，则定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=(-x)^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}=f(x)$，$f(-1)=1$，$f(2)=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}$，满足$f(-1)＜f(2)$.故答案为$x^{\frac{2}{3}}$.

14. ★★ (2025·江苏盐城高一月考)设函数$ y = f(x) $的定义域为$ D $,若函数$ y = f(x) $满足条件:存在$ [a,b]\subseteq D $,使得$ y = f(x) $在$ [a,b] $上的取值范围是$ \left[\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}\right] $,则称$ f(x) $为“半缩函数”.若函数$ f(x)=\log_{5}(5^{x}+t - 1) $为“半缩函数”,则实数$ t $的取值范围是_ .

答案： 14.$(1,\frac{5}{4})$ 解析：因为函数$f(x)=\log_{5}(5^{x}+t - 1)$为“半缩函数”，所以存在$[a,b]\subseteq\mathbf{D}$，使得$y = f(x)$在$[a,b]$上的取值范围是$[\frac{a}{2},\frac{b}{2}]$，由复合函数的单调性可知，$y = f(x)$在$[a,b]$上单调递增，所以$\begin{cases}f(x)_{\min}=f(a)=\frac{a}{2},\\f(x)_{\max}=f(b)=\frac{b}{2},\end{cases}$即$\begin{cases}\log_{5}(5^{a}+t - 1)=\frac{a}{2},\\\log_{5}(5^{b}+t - 1)=\frac{b}{2},\end{cases}$所以$\begin{cases}5^{a}+t - 1=5^{\frac{a}{2}},\\5^{b}+t - 1=5^{\frac{b}{2}},\end{cases}$有两个不等的实数根，令$m = 5^{\frac{x}{2}}$，当$t\geq1$时，关于$m$的方程$m^{2}-m + t - 1 = 0$有两个不相等的正实数根，可得$\begin{cases}\Delta=1 - 4t + 4＞0,\\t - 1＞0,\end{cases}$解得$t\in(1,\frac{5}{4})$；当$t＜1$时，关于$m$的方程$m^{2}-m + t - 1 = 0$在$(\sqrt{1 - t},+\infty)$上有两个不相等的正实数根，所以$\begin{cases}\Delta=1 - 4t + 4＞0,\\\sqrt{1 - t}＜\frac{1}{2},\\1 - t-\sqrt{1 - t}+t - 1＞0,\end{cases}$无解，所以$t\in(1,\frac{5}{4})$.故答案为$(1,\frac{5}{4})$.

15. ★★ (13分)(2025·江苏淮安高一期末)已知函数$ f(x)=\log_{a}(a^{-2x}+1)+bx(a\gt0,a\neq1,b\in\mathbf{R}) $的图象过点$ (0,-1) $,$ \left(1,\log_{2}\dfrac{2}{5}\right) $.
(1)求实数$ a,b $的值;
(2)证明:函数$ f(x) $为偶函数;
(3)求关于$ x $的不等式$ 2^{-f(x)+x}\lt2^{x}+3 $的解集.

答案： 15.
(1)解：函数$f(x)=\log_{a}(a^{-2x}+1)+bx$的图象过点$(0,-1)$，$(1,\log_{\frac{1}{2}}\frac{2}{5})$，所以$f(0)=\log_{a}2=-1$，即$a=\frac{1}{2}$，$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(1 + 4^{x})+bx$，则$\log_{\frac{1}{2}}5 + b=\log_{2}\frac{2}{5}$，则$b=\log_{2}\frac{2}{5}+\log_{2}5=\log_{2}2$，所以$b = 1$.
(2)证明：函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(1 + 4^{x})+x=x-\log_{2}(1 + 4^{x})=\log_{2}\frac{2^{x}}{1 + 4^{x}}$，$f(-x)=\log_{2}\frac{1}{2^{x}+2^{-x}}=f(x)$，故$f(x)$为偶函数.
(3)解：不等式$2^{-f(x)}＜2^{x}+3$可化为$1 + 4^{x}＜2^{x}+3$，即$(2^{x})^{2}-2^{x}-2＜0$，解得$-1＜2^{x}＜2$，所以$x＜1$，故不等式的解集为$\{x|x＜1\}$.