《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (全国高考)设$a\log_{3}4 = 2$，则$4^{-a}=$(B)

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 1.B 解析：由$a\log_3{4}=2$可得$\log_3{4^a}=2，$所以4^a=9，所以$4^{-a}=\frac{1}{9}.$故选B。

2. * (2022·天津)化简$(2\log_{4}3 + \log_{8}3)·(\log_{3}2 + \log_{9}2)=$(C)

A.$1$
B.$\frac{5}{4}$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$

答案： 2.C 解析：原式$=(2×\frac{1}{2}\log_2{3}+\frac{1}{3}\log_3{3})(\log_3{2}+\frac{1}{2}\log_3{2})=$
$\frac{4}{3}\log_2{3}×\frac{3}{2}\log_3{2}=2.$故选C。

3. * (2022·浙江)已知$2^{a}=5$，$\log_{8}3 = b$，则$4^{a - 3b}=$(C)

A.$25$
B.$5$
C.$\frac{25}{9}$
D.$\frac{5}{3}$

答案： 3.C 解析：因为$2^a=5,b=\log_8{3}=\frac{1}{3}\log_2{3}，$即$2^{3b}=3，$所以
$4^{a - 3b}=\frac{4^a}{(2^a)^2·3^2}=\frac{25}{9×3^2}=\frac{25}{9}.$故选C.

4. * (天津高考)若$2^{a}=5^{b}=10$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$(C)

A.$-1$
B.$\lg7$
C.$1$
D.$\log_{7}10$

答案： 4.C 解析：$\because2^a=5^b=10,\therefore a=\log_2{10},b=\log_5{10},\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$
$\frac{1}{\log_2{10}}+\frac{1}{\log_5{10}}=\lg2+\lg5=\lg10=1.$故选C.

5. * (湖南高考)若$a\gt0$，$a^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}$，则$\log_{\frac{2}{3}}a=$ 3.

答案： 5.3 解析：$\becausea^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9},\therefore$两边同时取$\frac{3}{2}$次方得$a=(\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}}=$
$(\frac{2}{3})^3,\therefore\log_2{a}=\log_2{(\frac{2}{3})^3}=3.$故答案为3.

6. * (安徽高考)$\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}+\log_{3}\frac{5}{4}+\log_{3}\frac{4}{5}=$ $\frac{27}{8}$.

答案： $6.\frac{27}{8} $解析：原式$=[(\frac{2}{3})^4]^{\frac{3}{4}}+\log_3{(\frac{5}{4}×\frac{4}{5})}=\frac{27}{8}+$
$\log_3{1}=\frac{27}{8}.$故答案为$\frac{27}{8}.$

7. * (重庆高考)若$x\gt0$，则$\left(2x^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{3}{2}}\right)\left(2x^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{3}{2}}\right)-4x^{-\frac{1}{2}}\left(x - x^{\frac{1}{2}}\right)=$ -23.

答案： 7.-23 解析：原式$=(2x^{\frac{1}{4}})^2-(3^{\frac{3}{2}})^2-4x^{\frac{1}{2}}· x+4x^{\frac{1}{2}}· x^{\frac{1}{2}}=$
$4x^{\frac{1}{2}}-3^3-4x^{\frac{1}{2}+1}+4x^{\frac{1}{12}}=4 - 27=-23.$故答案为-23.

8. * (2024·全国甲理)已知$a\gt1$且$\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{a}4}=-\frac{5}{2}$，则$a=$ 64.

答案： 8.64 解析：由题$\frac{1}{\log_8{a}}+\frac{1}{\log_4{a}}=\frac{3}{2}\log_2{a}=-\frac{5}{2}，$整理得
$(\log_2{a})^2-5\log_2{a}-6=0\Rightarrow\log_2{a}=-1$或$\log_2{a}=6，$又a＞1，所以
$\log_2{a=6}=\log_2{2^6}，$故$a=2^6=64.$故答案为64.

9. * (天津高考)已知$\log_{2}a + \log_{2}b\geq1$，则$3^{a}+9^{b}$的最小值为 18.

答案： 9.18 解析：由$\log_2{a}+\log_2{b}\geq1$得$ab\geq2，$且a＞0,b＞0.又3^a+
$9^b=3^a+3^{2b}\geq2\sqrt{3^a·3^{2b}}=2\sqrt{3^{a + 2b}}.$因为$a + 2b\geq2\sqrt{2ab}\geq$
$2\sqrt{2×2}=4($当且仅当a=2b时取等号)，所以$3^a+9^b\geq$
$2\sqrt{3^4}=18.$即3^a+9^b的最小值为18.故答案为18.

10. * (2024·北京)生物丰富度指数$d = \frac{S - 1}{\ln\frac{1}{N}}$是河流水质的一个评价指标，其中$S$，$N$分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数$d$越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数$S$没有变化，生物个体总数由$N_{1}$变为$N_{2}$，生物丰富度指数由$2.1$提高到$3.15$，则(D)

A.$3N_{2}=2N_{1}$
B.$2N_{2}=3N_{1}$
C.$N_{2}^{2}=N_{1}^{3}$
D.$N_{2}^{3}=N_{1}^{2}$

答案： 10.D 解析：由题意得$\frac{S - 1}{\ln N_1}=2.1,\frac{S - 1}{\ln N_2}=3.15，$则$2.1\ln N_1=$
$3.15\ln N_2，$即$2\ln N_1=3\ln N_2，$所以$N_2^3=N_1^2.$故选D.

11. * (北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限$M$约为$3^{361}$，而可观测宇宙中普通物质的原子总数$N$约为$10^{80}$.则下列各数中与$\frac{M}{N}$最接近的是(参考数据：$\lg3\approx0.48$)(D)

A.$10^{33}$
B.$10^{53}$
C.$10^{73}$
D.$10^{93}$

答案： 11.D 解析：设$\frac{M}{N}=x=\frac{3^{361}}{10^{80}}，$两边取对数，$\lg x=\lg\frac{3^{361}}{10^{80}}=\lg3^{361}-$
$\lg10^{80}=361×\lg3-80\approx93.28，$所以$x=10^{93.28}，$即$\frac{M}{N}$最接近
$10^{93}.$故选D.

12. * (2022·北京)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与$T$和$\lg P$的关系，其中$T$表示温度，单位是$K$；$P$表示压强，单位是$bar$.下列结论中正确的是(D)


A.当$T = 220$，$P = 1026$时，二氧化碳处于液态
B.当$T = 270$，$P = 128$时，二氧化碳处于气态
C.当$T = 300$，$P = 9987$时，二氧化碳处于超临界状态
D.当$T = 360$，$P = 729$时，二氧化碳处于超临界状态

答案： 12.D 解析：当T=220,P=1026时，$\lg P＞3，$此时二氧化碳处
于固态，故A错误；当T=270,P=128时，2＜\lg P＜3，此时二
氧化碳处于液态，故B错误；当T=300,P=9987时，$\lg P$与
4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，故C错误；当T=
360,P=729时，2＜\lg P＜3，故此时二氧化碳处于超临界状
态，故D正确.故选D.