《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (多选)已知两个命题:
(1)若$ x＞0 $,则$ 2x+1＞5 $;
(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.
则下列说法正确的是 (AB)
A. 命题(2)是全称量词命题
B. 命题(1)的否定为存在$ x＞0,2x+1\leqslant5 $
C. 命题(2)的否定是存在四边形不是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等
D. 命题(1)和(2)被否定后,都是真命题

答案： 1. AB 解析：对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等，等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确；对于B，命题（1）的否定为存在x＞0，$2x+1\leq5，$故B正确；对于C，命题（2）的否定是存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误.故选AB.

2. * (2025·江苏苏州高一月考)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数$ n＞2 $,关于$ x,y,z $的方程$ x^n+y^n=z^n $没有正整数解”,经历三百多年,1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为 (D)

A.对任意正整数$ n＞2 $,关于$ x,y,z $的方程$ x^n+y^n=z^n $都没有正整数解
B.对任意正整数$ n＞2 $,关于$ x,y,z $的方程$ x^n+y^n=z^n $至少存在一组正整数解
C.存在正整数$ n\leqslant2 $,关于$ x,y,z $的方程$ x^n+y^n=z^n $至少存在一组正整数解
D.存在正整数$ n＞2 $,关于$ x,y,z $的方程$ x^n+y^n=z^n $至少存在一组正整数解

答案： 2. D 解析：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解”的否定为存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程x^n+y^n=z^n至少存在一组正整数解.故选D.

3. * (多选)(2025·河南郑州高一月考)若“$ \forall x\in M,|x|＞x $”为真命题,“$ \exists x\in M,x＞3 $”为假命题,则集合$ M $可以是 (AB)

A.$ \{x|x＜-5\} $
B.$ \{x|-3＜x\leqslant-1\} $
C.$ \{x|x＞3\} $
D.$ \{x|0\leqslant x\leqslant3\} $

答案： 3. AB 解析：由命题$“\exists x\in M，$x＞3”为假命题，可得$M\subseteq (-\infty，$3]，又由命题$“\forall x\in M，$|x|＞x”为真命题，可得$M\subseteq (-\infty，$0)，所以$M\subseteq (-\infty，$0)，结合选项，可得AB符合题意.故选AB.

4. * (2025·江苏泰州高一月考)已知集合$ A=\{x|0\leqslant x\leqslant a\} $,集合$ B=\{x|m^2+3\leqslant x\leqslant m^2+4\} $,如果命题“$ \exists m\in\mathbf{R},A\cap B\neq\varnothing $”为假命题,则实数$ a $的取值范围为 (A)

A.$ \{a|a＜3\} $
B.$ \{a|a＜4\} $
C.$ \{a|1＜a＜5\} $
D.$ \{a|0＜a＜4\} $

答案： 4. A 解析：因为命题$“\exists m\in R，$$A\cap B\neq \varnothing”$为假命题，所以命题$“\forall m\in R，$$A\cap B=\varnothing”$为真命题，因为集合$A=\{x|0\leq x\leq a\}，$集合$B=\{x|m^2+3\leq x\leq m^2+4\}，$所以当$A=\{x|0\leq x\leq a\}=\varnothing$时，即a＜0时，$A\cap B=\varnothing$成立；当$A=\{x|0\leq x\leq a\}\neq \varnothing$时，由$“\forall m\in R，$$A\cap B=\varnothing”$得$\begin{cases} a\geq 0, \\ a＜m^2+3, \end{cases} $解得$a\in [0,3)，$综上，实数a的取值范围为$(-\infty，$3).故选A.

5. * (2025·广东东莞高一期中)若命题$ p $:$ \exists x\in(0,+\infty),x+\dfrac{9}{x}=5 $,则$ p $的否定为 _,$ p $为 假(填“真”或“假”)命题.

答案： $5. \forall x\in (0，$$+\infty)，$$x+\frac{9}{x}\neq 5 $假 解析：p的否定为$“\forall x\in (0，$$+\infty)，$$x+\frac{9}{x}\neq 5”.$若$x+\frac{9}{x}=5，$则$x^2 -5x+9=0.$又$\Delta =25 -4× 9$＜0，故不存在x＞0，使$x+\frac{9}{x}=5，$所以p为假命题.故答案为$\forall x\in (0，$$+\infty)，$$x+\frac{9}{x}\neq 5；$假.

6. * (2025·四川泸州高一期中)若“$ \forall x\in[1,3],mx+3-2m＞0 $”是假命题,则$ m $的取值范围为 _.

答案： $6. (-\infty，$$-3]\cup [3，$$+\infty) $解析：由$“\forall x\in [1，$3]，mx+3-2m＞0”是假命题，得$“\exists x\in [1，$3]，$mx+3-2m\leq 0”$是真命题，则$m+3-2m\leq 0$或$3m+3-2m\leq 0，$解得$m\geq 3$或$m\leq -3.$故答案为$(-\infty，$$-3]\cup [3，$$+\infty).$

7. * (2025·四川成都高一期中)设集合$ P=\{x|-2＜x＜3\} $,$ Q=\{x|3a＜x\leqslant a+1\} $.
(1)若$ \forall x\in Q,x\in P $,求$ a $的取值范围;
(2)若$ \exists x\in P,x\in Q $,求$ a $的取值范围.

答案： 7. 解：
(1)若$\forall x\in Q，$$x\in P，$则$Q\subseteq P，$当$3a\geq a+1，$即$a\geq \frac{1}{2}$时，$Q=\varnothing，$满足$Q\subseteq P；$当3a＜a+1，即a＜\frac{1}{2}时，$Q\neq \varnothing，$要使$Q\subseteq P，$则需$\begin{cases} a＜\frac{1}{2}, \\ 3a\geq -2, \\ a+1＜3, \end{cases} $解得$-\frac{2}{3}\leq a＜\frac{1}{2}，$综上所述，a的取值范围是$[-\frac{2}{3}，$$+\infty).$
(2)若$\exists x\in P，$$x\in Q，$$P\cap Q\neq \varnothing，$先求$P\cap Q=\varnothing$时a的取值范围：当$3a\geq a+1，$即$a\geq \frac{1}{2}$时，$Q=\varnothing，$满足$P\cap Q=\varnothing.$当3a＜a+1，即a＜\frac{1}{2}时，$Q\neq \varnothing，$要使$P\cap Q=\varnothing，$则需$\begin{cases} a＜\frac{1}{2}, \\ a+1\leq -2, \\ 3a\geq 3, \end{cases} $解得$a\leq -3.$综上所述，当$P\cap Q=\varnothing$时，$a\leq -3$或$a\geq \frac{1}{2}，$所以当$P\cap Q\neq \varnothing$时，-3＜a＜\frac{1}{2}，即(-3，$\frac{1}{2}).$

* (2025·湖北恩施高一期中)已知命题$ p $:$ \exists 6\leqslant x\leqslant20,x\leqslant2a $,命题$ q $:$ \forall x\in\mathbf{R},x^2+2x-a＞0 $,若命题$ p $和命题$ q $至少有一个为真命题,则实数$ a $的取值范围为 _.

答案： $\{a|a＜-1或a\geq 3\} $解析：若p为假命题，则$\neg p$：$\forall 6\leq x\leq 20，$x＞2a为真命题，所以2a＜6，解得a＜3，所以a的取值范围为\{a|a＜3\}.若q为真命题，则$a＜x^2+2x=(x+1)^2 -1$对$\forall x\in R$均成立，所以a＜-1，所以当q为假命题时，a的取值范围为$\{a|a\geq -1\}，$所以当p，q均为假命题时a的取值范围为$\{a|a\geq -1\}=\{a|-1\leq a＜3\}，$所以若命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为$\{a|a＜-1或a\geq 3\}.$