《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列对$ y = \cos x $的图象描述错误的是(C)

A.在$ [0, 2\pi] $和$ [4\pi, 6\pi] $上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线$ y = 1 $与直线$ y = -1 $之间
C.关于$ x $轴对称
D.关于点$ \left( \dfrac{\pi}{2}, 0 \right) $中心对称

答案： 1. C 解析：由余弦函数的性质知，$y = \cos x$为周期函数，最小正周期为$2\pi$，值域为$[-1,1]$，对称轴为$x = k\pi, k \in \mathbf{Z}$，对称中心为$(\frac{\pi}{2} + k\pi,0), k \in \mathbf{Z}$，所以ABD选项正确，C选项错误.故选C.

2. (2025·天津南开中学高一期末)函数$ y = f(x) $，其中$ f(x) = a\sin x + b (x \in [0, 2\pi], a, b \in \mathbf{R}) $，它的图象如图所示，则$ y = f(x) $的解析式为(A)


A.$ f(x) = \dfrac{1}{2}\sin x + 1, x \in [0, 2\pi] $
B.$ f(x) = \sin x + \dfrac{1}{2}, x \in [0, 2\pi] $
C.$ f(x) = \dfrac{3}{2}\sin x + 1, x \in [0, 2\pi] $
D.$ f(x) = \dfrac{3}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}, x \in [0, 2\pi] $

答案： 2. A 解析：点$(0,1)$与$(\frac{\pi}{2},1.5)$代入$f(x) = a\sin x + b$中，可得
$\begin{cases} b = 1, \\ a + b = 1.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 1, \\ a = 0.5. \end{cases}$故选A.

3. 在$ \triangle ABC $中，“$ \cos A ＜ \cos B $”是“$ A ＞ B $”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 3. C 解析：因为$\cos A ＜ \cos B$，因为$y = \cos x$在$(0,\pi)$内单调递减，所以$A ＞ B$，所以“$\cos A ＜ \cos B$”是“$A ＞ B$”的充分条件；
当$A ＞ B$时，因为$y = \cos x$在$(0,\pi)$内单调递减，所以
$\cos A ＜ \cos B$，所以“$\cos A ＜ \cos B$”是“$A ＞ B$”的必要条件.故选C.

4. (多选)(2025·江苏常州高级中学高一期末)关于函数$ f(x) = \dfrac{1}{1 + \cos x} $，下列说法正确的是(BCD)

A.函数$ f(x) $定义域为$ \mathbf{R} $
B.函数$ f(x) $是偶函数
C.函数$ f(x) $是周期函数
D.函数$ f(x) $在区间$ (-\pi, 0) $上单调递减

答案： 4. BCD 解析：由于$\cos \pi = -1,1 + \cos \pi = 0$，所以$f(x)$的定义域不是$\mathbf{R}$，A选项错误.由$1 + \cos x \neq 0$得$\cos x \neq -1$，所以$x \neq 2k\pi + \pi, k \in \mathbf{Z}$，所以$f(x)$的定义域是$\{x|x \neq 2k\pi + \pi, k \in \mathbf{Z}\},f(x)$的定义域关于原点对称，$f(-x) = \frac{1}{1 + \cos(-x)} = \frac{1}{1 + \cos x} = f(x)$，所以$f(x)$是偶函数，B选项正确.$f(x + 2\pi) = \frac{1}{1 + \cos(x + 2\pi)} =$
$\frac{1}{1 + \cos x} = f(x)$，所以$f(x)$是周期函数，C选项正确.当
$x \neq 2k\pi + \pi, k \in \mathbf{Z}$时，$1 + \cos x ＞ 0$恒成立，$y = 1 + \cos x$在
$(-\pi,0)$上单调递增，所以$f(x) = \frac{1}{1 + \cos x}$在区间$(-\pi,0)$上单调递减，D选项正确.故选BCD.

5. (2025·四川泸州高一期末)函数$ f(x) = |\tan x|\cos x \left( -\dfrac{\pi}{2} ＜ x ＜ \dfrac{\pi}{2} \right) $取得最小值时，$ x = $(C)

A.$ \dfrac{\pi}{3} $
B.$ \dfrac{\pi}{4} $
C.0
D.$ -\dfrac{\pi}{4} $

答案： 5. C 解析：因为$-\frac{\pi}{2} ＜ x ＜ \frac{\pi}{2}$，则$\cos x ＞ 0$，可得$f(x) = |\tan x|\cos x =$
$|\tan x|\cos x| = |\sin x| \geq 0$，当且仅当$x = 0$时，等号成立，所以函数$f(x)$取得最小值时，$x = 0$.故选C.

6. (多选)(2025·浙江杭州学军中学高一期末)定义$ \min \{ a, b \} = \begin{cases}a, a \leq b, \\ b, a ＞ b.\end{cases}$已知函数$ f(x) = \min \{ \sin x, \cos x \} $，则( )

A.$ f(x) $关于直线$ x = -\dfrac{\pi}{4} $对称
B.$ f(x) $的最大值为$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ f(x) $在$ \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $上不单调
D.在$ (0, 2\pi) $，函数$ y = f(x) $的图象与直线$ y = m $($ m $为常数)最多有4个交点

答案：
6. BCD 解析：若$\sin x ＜ \cos x$，则$x \in (2k\pi + \frac{5\pi}{4},2k\pi + \frac{9\pi}{4}), k \in \mathbf{Z}$，故$f(x) = \min\{|\sin x,\cos x|\} =$
$\begin{cases} \sin x, & 2k\pi + \frac{5\pi}{4} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{9\pi}{4}, \\ \cos x, & 2k\pi + \frac{\pi}{4} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{5\pi}{4}, \end{cases} k \in \mathbf{Z}$，故其图象如图所示.

对A，由图象可得$f(x)$不关于直线$x = -\frac{\pi}{4}$对称，故A错误；
对B，由图象可得$f(x)$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故B正确；对C，当
$x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时，
$f(x) = \begin{cases} \sin x, & -\frac{\pi}{2} ＜ x \leq \frac{\pi}{4}, \\ \cos x, & \frac{\pi}{4} ＜ x ＜ \frac{\pi}{2}, \end{cases}$则$f(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4})$上单调递增，在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$上单调递减，故C正确；对D，由图象，
当$m \in (-1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$时，函数$y = f(x)$的图象与直线$y = m$在
$x \in (0,2\pi)$有4个交点，在$m \notin (-1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$时，函数$y = f(x)$
的图象与直线$y = m$在$x \in (0,2\pi)$少于4个交点，故D正确.
故选BCD.

7. (2025·江苏扬州高一月考)写出一个同时满足下列条件的函数$ f(x) $，如$ f(x) = $$\sin 4\pi x$$ $。
①函数$ f(x) $是奇函数；②函数$ f(x) $的最小正周期是$ \dfrac{1}{2} $。

答案： 7. $\sin 4\pi x$(答案不唯一) 解析：不妨令$f(x) = \sin \omega x, \omega ＞ 0$，故
$\frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{2}$，解得$\omega = 4\pi$，故$f(x) = \sin 4\pi x$.故答案为$\sin 4\pi x$.

8. (2025·湖北武汉高一期末)函数$ y = \cos x + \sin^2 x $在$ x \in \left( -\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2} \right] $的值域为$[1,\frac{5}{4}]$。

答案： 8. $[1,\frac{5}{4}]$ 解析：$y = \cos x + \sin^{2}x = -\cos^{2}x + \cos x + 1 =$
$-(\cos^{2}x - \cos x + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4} = -(\cos x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}$，
$\because x \in (-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$，$\therefore \cos x \in [0,1]$，令$t = \cos x \in [0,1]$，则
$y = -(t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}$在$[0,\frac{1}{2}]$上单调递增，在$(\frac{1}{2},1]$上单调递减，当$\cos x = 0$或1时，$y$取最小值1，当$\cos x = \frac{1}{2}$时，$y$取最大值$\frac{5}{4}$，故函数的值域是$[1,\frac{5}{4}]$.故答案为$[1,\frac{5}{4}]$.
对于函数$f(x) = a\sin^{2}x + b\cos x + c$或$f(x) = a\cos^{2}x + b\sin x + c$
的相关问题，可以利用$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$将其转化为$y = \cos x$或
$y = \sin x$与二次函数的复合函数问题并求解.

9. (2025·广东深圳高一月考)已知函数$ f(x) = x^2 - \cos x, x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] $，则满足$ f(x_0) ＞ f\left( \dfrac{\pi}{6} \right) $的$ x_0 $的取值范围为$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$。

答案： 9. $[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ 解析：$\because f(x) = x^{2} - \cos x$，
$x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，$\therefore f(-x) = (-x)^{2} - \cos(-x) = x^{2} - \cos x =$
$f(x)$，$\therefore$函数$f(x)$是偶函数，$\therefore f(x) = f(|x|)$，当$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$
时，$y = x^{2}$和$y = -\cos x$均为增函数，则$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上是
增函数，$\because f(x_{0}) ＞ f(\frac{\pi}{6})$，
$\therefore |x_{0}| ＞ \frac{\pi}{6}$，$\therefore -\frac{\pi}{2} \leq x_{0} ＜ -\frac{\pi}{6}$或$\frac{\pi}{6} ＜ x_{0} \leq \frac{\pi}{2}$
故答案为$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$.