《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

16. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (15分)(2025·江苏淮安高一月考)已知命题$p$:$\forall x\in [1,2]$,$x^{2}-a\geqslant 0$,命题$q$:$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+2ax+2a+a^{2}=0$.
(1)若命题$p$为假命题,求实数$a$的取值范围;
(2)若命题$p$和$\neg q$均为真命题,求实数$a$的取值范围.

答案： 16.解:
(1)当$1 \leq x \leq 2$时，$1 \leq x^{2} \leq 4$，由命题$\neg p$：$\exists x \in [1,2]$，$x^{2}-a＜0$为真命题，所以$a＞(x^{2})_{\min}$，故$a＞1$，实数$a$的取值范围是$\{a|a＞1\}$.
(2)由
(1)知，命题$p$为真命题时，$a \leq 1$，命题$q$为真命题时，$\Delta = 4a^{2}-4(2a + a^{2}) \geq 0$，解得$a \leq 0$，所以$\neg q$为真命题时，$a＞0$，所以命题$p$和$\neg q$均为真命题时，$\begin{cases}a \leq 1\\a＞0\end{cases}$，解得$0＜a \leq 1$，即实数$a$的取值范围为$\{a|0＜a \leq 1\}$.

17. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (15分)(2025·四川成都高一月考)已知集合$A=\{x\mid x^{2}-3x+2=0\}$,$B=\{x\mid x^{2}-(m+1)x+m^{2}-2=0\}$,$C=\{x\mid x^{2}-2x+n-1=0\}$.
(1)命题$p$:$\forall x\in A$,都有$x\in B$,若命题$p$为真命题,求实数$m$的值;
(2)已知$p$:$x\in A$,$q$:$x\in C$,若$p$是$q$的必要不充分条件,求实数$n$的取值范围.

答案： 17.解:
(1)由$A = \{x|x^{2}-3x + 2 = 0\}$可得$A = \{1,2\}$，由于$p$：$\forall x \in A$，都有$x \in B$为真命题，故$A \subseteq B$，因此$B = \{1,2\}$，故$1 + 2 = m + 1$且$1 × 2 = m^{2}-2$，故$m = 2$.
(2)由于$p$是$q$的必要不充分条件，则$C \supsetneqq A$，且因为$A = \{1,2\}$，当$C = \{2\}$时，则$\begin{cases}\Delta = 4 - 4(n - 1)=0\\2^{2}-2 × 2 + n - 1 = 0\end{cases}$，则$n$不存在；当$C = \{1\}$时，则$\begin{cases}\Delta = 4 - 4(n - 1)=0\\1^{2}-2 × 1 + n - 1 = 0\end{cases}$，解得$n = 2$；当$C = \varnothing$时，则$\Delta = 4 - 4(n - 1)＜0$，解得$n＞2$.综上，$n \geq 2$.