《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * 函数$ y = |\tan x| $，$ y = \tan x $，$ y = \tan(-x) $，$ y = \tan|x| $在$ \left(-\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right) $上的大致图象依次是下图中的(C)


A.①②③④
B.②①③④
C.①②④③
D.②①④③

答案： 1.C 解析：$y = |\tan x|$对应的图象为①，$y = \tan x$对应的图象为②，$y = \tan(-x)$对应的图象为④，$y = \tan|x|$对应的图象为③。故选C。

2. 函数$ y = \tan\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) $在一个周期内的图象是(D)

答案： 2.D 解析：因为$y = \tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$的图象可以由$y = \tan x$的图象向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度得到，故D正确。故选D。

3. *(2025·浙江宁波高一期末)函数$ f(x) = \tan 2x $的定义域为(A)

A.$ \left\{x\mid x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2},k \in \mathbf{Z}\right\} $
B.$ \left\{x\mid x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\} $
C.$ \left\{x\mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{k\pi}{2},k \in \mathbf{Z}\right\} $
D.$ \left\{x\mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\} $

答案： 3.A 解析：因为$2x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$，所以$x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$，$k \in \mathbf{Z}$，则函数$f(x) = \tan 2x$的定义域为$\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}\right\}$。故选A。

4. (2025·安徽淮南高一月考)与函数$ y = \tan\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) $的图象不相交的一条直线是(C)

A.$ x = \dfrac{\pi}{2} $
B.$ x = -\dfrac{\pi}{2} $
C.$ x = \dfrac{\pi}{8} $
D.$ x = -\dfrac{\pi}{8} $

答案： 4.C 解析：由$2x + \frac{\pi}{4} \neq k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$，得$x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$，令$k = 0$，得$x \neq \frac{\pi}{8}$，令$k = 1$，得$x \neq \frac{5\pi}{8}$，令$k = 2$，得$x \neq \frac{9\pi}{8}$，令$k = -1$，得$x \neq - \frac{3\pi}{8}$，令$k = -2$，得$x \neq - \frac{7\pi}{8}$，直线$x = \frac{\pi}{8}$与函数$y = \tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$的图象不相交。故选C。

5. [苏教教材变式] 已知函数$ f(x) = a - \sqrt{3}\tan 2x $在闭区间$ \left[-\dfrac{\pi}{6},b\right] $上的最大值为7，最小值为3，则$ ab = $ $\frac{\pi}{3}$.

答案： 5.$\frac{\pi}{3}$ 解析：因为$x \in \left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$，则$2x \in \left[-\frac{\pi}{3}, 2b\right]$。又$2x \in \left(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$，且$-\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，即$k = 0$，所以$2b ＜ \frac{\pi}{2}$，即$-\frac{\pi}{6} ＜ b ＜ \frac{\pi}{4}$，所以$\tan 2x \in [-\sqrt{3}, \tan 2b]$，所以$f(x) = a - \sqrt{3} \tan 2x \in [a - \sqrt{3} \tan 2b, a + 3]$。因为$f(x)$在闭区间$\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$上的最大值为7，最小值为3，所以$\begin{cases}a - \sqrt{3} \tan 2b = 3, \\a + 3 = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 4, \\b = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}.\end{cases}$因为$-\frac{\pi}{6} ＜ b ＜ \frac{\pi}{4}$，所以$b = \frac{\pi}{12}$，故$ab = \frac{\pi}{3}$。故答案为$\frac{\pi}{3}$。

6. *(2025·吉林延边高一月考)函数$ y = \tan\dfrac{x}{2} $是(B)

A.最小正周期为$ 4\pi $的奇函数
B.最小正周期为$ 2\pi $的奇函数
C.最小正周期为$ 4\pi $的偶函数
D.最小正周期为$ 2\pi $的偶函数

答案： 6.B 解析：函数$f(x) = \tan\frac{x}{2}$，定义域为$\{x \mid x \neq \pi + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\}$，因为$f(-x) = \tan\left(-\frac{x}{2}\right) = -\tan\frac{x}{2} = -f(x)$，所以函数$y = \tan\frac{x}{2}$为奇函数，其最小正周期$T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$。故选B。

7. (多选)已知函数$ f(x) = \tan\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) $，若$ f(x) $在区间$ (0,m) $内单调递增，则$ m $的可能取值是(BCD)

A.$ -\dfrac{\pi}{12} $
B.$ \dfrac{\pi}{2} $
C.$ \dfrac{5\pi}{6} $
D.$ \dfrac{2\pi}{3} $

答案： 7.BCD 解析：因为$y = \tan x$的图象在$\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ $(k \in \mathbf{Z})$单调递增，$f(x) = \tan\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$的图象是由$y = \tan x$向左平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度得到的，所以$f(x) = \tan\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$的单调增区间为$\left(-\frac{7\pi}{6} + k\pi, -\frac{\pi}{6} + k\pi\right)(k \in \mathbf{Z})$，由$x \in (0, m)$，令$k = 1$，得到$f(x)$的一个单调增区间为$\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$，故$(0, m) \subseteq \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$，解得$0 ＜ m \leq \frac{5\pi}{6}$。故选BCD。

8. 已知$ a = \tan 1 $，$ b = \tan 2 $，$ c = \tan 3 $，则(C)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ b ＜ a ＜ c $

答案： 8.C 解析：由题意可知$a = \tan 1 ＞ 1$，$b = \tan 2 = -\tan(\pi - 2) ＜ 0$，$c = \tan 3 = -\tan(\pi - 3) ＜ 0$。再根据$\frac{\pi}{2} ＞ \pi - 2 ＞ \pi - 3 ＞ 0$，$\therefore \tan(\pi - 2) ＞ \tan(\pi - 3) ＞ 0$，$\therefore -\tan(\pi - 2) ＜ -\tan(\pi - 3) ＜ 0$。综上可得，$a ＞ 0 ＞ c ＞ b$。故选C。

9. 对于函数$ y = f(x) $，其中$ f(x) = a\sin 2x + b\tan x + 3 $。若$ f(-2) = 1 $，则$ f(\pi + 2) = $ 5.

答案： 9.5 解析：$f(-2) = a\sin(-4) + b\tan(-2) + 3 = -\asin 4 - b\tan 2 + 3 = 1$，故$a\sin 4 + b\tan 2 = 2$，$f(\pi + 2) = a\sin 2(\pi + 2) + b\tan(\pi + 2) + 3 = a\sin 4 + b\tan 2 + 3 = 5$。故答案为5。

10. 不等式$ -1 \leq \tan\left(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{6}\right) \leq \sqrt{3} $的解集是 $\left[-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right], k \in \mathbf{Z}$.

答案： 10.$\left[-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right], k \in \mathbf{Z}$ 解析：因为$y = \tan x$在$\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right), k \in \mathbf{Z}$上单调递增，则由$-1 \leq \tan\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right) \leq \sqrt{3}$得$-\frac{\pi}{4} + k\pi \leq \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$，解得$-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}$，即不等式$-1 \leq \tan\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right) \leq \sqrt{3}$的解集是$\left[-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right], k \in \mathbf{Z}$。故答案为$\left[-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right], k \in \mathbf{Z}$。 易错提醒 求不等式解集时不能遗漏周期。