《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (2025·河南驻马店高一月考)持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线共40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段,运送的平均速度为60 km/h,设需摩托车运送的路段平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线,则x应该满足的不等式为 (D)

A.$\frac{40}{60+x}＞1$
B.$\frac{40}{60+x}＜1$
C.$\frac{35}{60}+\frac{5}{x}＞1$
D.$\frac{35}{60}+\frac{5}{x}＜1$

答案： 1.D 解析：由题意知汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即$\frac{35}{60}+\frac{5}{x}＜1$.故选D.

2. (2025·河北邢台高一月考)在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为 (D)

A.$\begin{cases}170\leqslant x+y\leqslant 190,\\x＜y\end{cases}$
B.$\begin{cases}170\leqslant x+y\leqslant 190,\\x＞y\end{cases}$
C.$\begin{cases}170＜ x+y\leqslant 190,\\x＜y\end{cases}$
D.$\begin{cases}170＜ x+y\leqslant 190,\\x＞y\end{cases}$

答案： 2.D 解析：由题意得$\begin{cases}170＜x+y\leq190,\\x＞y.\end{cases}$故选D.

3. (2025·四川绵阳高一期中)若$a＜b,c＞0$,则下列选项一定正确的是 (D)

A.$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
B.$\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}$
C.$a-c＞b-c$
D.$ac＜bc$

答案： 3.D 解析：取$a=1,b=2,c=1$,则$\frac{1}{a}=1＞\frac{1}{2}=\frac{1}{b},a-c=0＜1=b-c$,故AC错误；取$a=-2,b=1,c=1$,则$\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}＜1=\frac{c}{b}$,故B错误；对于D，由不等式的性质可得$ac＜bc$成立，故D正确.故选D.

4. (多选)若$x＞1＞y$,则下列不等式一定成立的是 (BCD)

A.$x-1＞1-y$
B.$x-1＞y-1$
C.$x-y＞1-y$
D.$1-x＞y-x$

答案： 4.BCD 解析：对选项A可用特殊值法，令$x=2,y=-1$，则$x-1=2-1＜1-(-1)=1-y$，故选项A中不等式不成立；$x-1-(y-1)=x-y＞0$，故选项B中不等式一定成立；$x-y-(1-y)=x-1＞0$，故选项C中不等式一定成立；$1-x-(y-x)=1-y＞0$，故选项D中不等式一定成立.故选BCD.

5. (多选)(2025·江苏泰州高一期中)设$a,b\in\mathbf{R}$,则下列命题正确的是 (AC)

A.若$a＞b＞0$,则$a^2＞ab$
B.若$a＜b＜0$,则$a^2＜ab$
C.若$a＞|b|$,则$a^2＞b^2$
D.若$a＜|b|$,则$a^2＜b^2$

答案： 5.AC 解析：对于A，若$a＞b＞0$，则不等式两边同时乘以$a$，由$a＞0$，得$a^2＞ab$，故A正确；对于B，若$a＜b＜0$，则不等式两边同时乘以$a$，由$a＜0$，得$a^2＞ab$，故B错误；对于C，若$a＞|b|$，则$a＞|b|\geq0$，利用不等式的可乘方性，得$a^2＞b^2$，故C正确；对于D，若$a=-2,b=1$，则$a^2=4,b^2=1$，则$a^2＞b^2$，故D错误.故选AC.

6. (2025·陕西延安高一月考)已知$P=a^2+a+1,Q=3a-1$,则P,Q的大小关系为 (A)

A.$P＞Q$
B.$P=Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定

答案： 6.A 解析：$P-Q=a^2+a+1-(3a-1)=a^2-2a+2=(a-1)^2+1\geq1＞0$，所以$P＞Q$.故选A.
方法总结
比较大小常用的解法是作差或作商：
(1)作差法：若$a-b＞0$，则$a＞b$；若$a-b＜0$，则$a＜b$.
(2)作商法：适用于同号的两个数比较大小.
①当$a＞0,b＞0$时，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$；②当$a＜0,b＜0$时，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＜b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＞b$.

7. (2025·江苏扬州高一月考)若$x\in\mathbf{R}$,则$\frac{x}{1+x^2}$与$\frac{1}{2}$的大小关系为 $\frac{x}{1+x^2}\leq\frac{1}{2}$.

答案： 7.$\frac{x}{1+x^2}\leq\frac{1}{2}$ 解析：$\because\frac{x}{1+x^2}-\frac{1}{2}=\frac{2x-1-x^2}{2(1+x^2)}=\frac{-(x-1)^2}{2(1+x^2)}\leq0$，$\therefore\frac{x}{1+x^2}\leq\frac{1}{2}$.故答案为$\frac{x}{1+x^2}\leq\frac{1}{2}$.

8. (2025·江苏南京高一月考)已知$1\leqslant a\leqslant 2,3\leqslant b\leqslant 5$,则下列结论错误的是 (B)

A.$a+b$的取值范围为$[4,7]$
B.$b-a$的取值范围为$[2,3]$
C.$ab$的取值范围为$[3,10]$
D.$\frac{a}{b}$的取值范围为$\left[\frac{1}{5},\frac{2}{3}\right]$

答案： 8.B 解析：因为$1\leq a\leq2,3\leq b\leq5$，所以$4\leq a+b\leq7,-2\leq-a\leq-1,1\leq b-a\leq4$，所以$a+b$的取值范围为$[4,7]$，$b-a$的取值范围为$[1,4]$，故A正确，B错误；因为$1\leq a\leq2,3\leq b\leq5$，所以$3\leq ab\leq10$，$\frac{1}{5}\leq\frac{1}{b}\leq\frac{1}{3},\frac{1}{5}\leq\frac{1}{3}\leq\frac{a}{b}\leq\frac{2}{3}$，所以$ab$的取值范围为$[3,10]$，$\frac{a}{b}$的取值范围为$[\frac{1}{5},\frac{2}{3}]$，故C正确，D正确.故选B.

9. (2025·安徽宿州高一月考)已知实数a,b满足$1\leqslant a+b\leqslant 8,3\leqslant a-b\leqslant 4$.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求$a-4b$的取值范围.

答案： 9.解：
(1)因为$1\leq a+b\leq8,3\leq a-b\leq4$，所以$4\leq(a+b)+(a-b)\leq12$.又$a=\frac{1}{2}[(a+b)+(a-b)]$，得$2\leq\frac{1}{2}[(a+b)+(a-b)]\leq6$，即实数$a$的取值范围为$[2,6]$.因为$b=\frac{1}{2}[(a+b)-(a-b)]$，由$3\leq a-b\leq4$，所以$-4\leq-(a-b)\leq-3$.又$1\leq a+b\leq8$，所以$-3\leq(a+b)-(a-b)\leq5$，所以$-\frac{3}{2}\leq\frac{1}{2}[(a+b)-(a-b)]\leq\frac{5}{2}$，即实数$b$的取值范围为$[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}]$.
(2)设$a-4b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b$，则$\begin{cases}m+n=1,\\m-n=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\frac{3}{2},\\n=\frac{5}{2},\end{cases}$所以$a-4b=-\frac{3}{2}(a+b)+\frac{5}{2}(a-b)$.因为$1\leq a+b\leq8,3\leq a-b\leq4$，所以$-12\leq-\frac{3}{2}(a+b)\leq-\frac{3}{2}$，$\frac{15}{2}\leq\frac{5}{2}(a-b)\leq10$，所以$-\frac{9}{2}\leq a-4b\leq\frac{17}{2}$，即$a-4b$的取值范围为$[-\frac{9}{2},\frac{17}{2}]$.
重难点拨
整体思想是解决问题时常用的重要思想，在解决上述问题时需要我们把$a+b$和$a-b$看作整体代入计算.