《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2025·吉林长春高三月考)$ y = \lg(\tan x - 1) $的定义域为(A)

A.$ \left\{x\mid \dfrac{\pi}{2} + k\pi ＞ x ＞ \dfrac{\pi}{4} + k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\} $
B.$ \left\{x\mid x ＞ \dfrac{\pi}{4} + k\pi,x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\} $
C.$ \left\{x\mid x ＞ \dfrac{\pi}{4} + k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\} $
D.$ \left\{x\mid x ＞ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2},k \in \mathbf{Z}\right\} $

答案： 1.A 解析：令$y = \lg t$，$t = \tan x - 1$，函数$t = \tan x - 1$的定义域为$\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$，函数$y = \lg t$的定义域为$t ＞ 0$，则$\tan x - 1 ＞ 0$，即$\left\{x \mid \frac{\pi}{4} + k\pi ＜ x ＜ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$，所以$y = \lg(\tan x - 1)$的定义域为$\left\{x \mid \frac{\pi}{4} + k\pi ＜ x ＜ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$。故选A。

2. 若$ x \in \mathbf{R} $，$ k \in \mathbf{Z} $，则“$ |x - k\pi| ＜ \dfrac{\pi}{4} $”是“$ |\tan x| ＜ 1 $”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 2.C 解析：$|x - k\pi| ＜ \frac{\pi}{4}$，即$-\frac{\pi}{4} ＜ x - k\pi ＜ \frac{\pi}{4}$，解得$-\frac{\pi}{4} + k\pi ＜ x ＜ \frac{\pi}{4} + k\pi$；$|\tan x| ＜ 1$，即$-1 ＜ \tan x ＜ 1$，解得$-\frac{\pi}{4} + k\pi ＜ x ＜ \frac{\pi}{4} + k\pi$，两个范围相同，所以$|x - k\pi| ＜ \frac{\pi}{4}$是$|\tan x| ＜ 1$的充要条件。故选C。

3. *(2025·江苏无锡高一期末)已知函数$ f(x) = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) $，则(D)

A.$ f(x) $的最小正周期为$ 2\pi $
B.$ f(x) $的定义域为$ \left\{x\mid x \neq \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\} $
C.$ f(x) $是增函数
D.$ f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) ＜ f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $

答案： 3.D 解析：对A：由$f(x) = \tan\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$，函数$f(x)$的最小正周期$T = \frac{\pi}{1} = \pi$，故A错误；对B：由$x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$，解得$x \neq \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$，所以$f(x)$的定义域为$\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$，故B错误；对C：因为$f(x)$可以由$y = \tan x$向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度得到，而$y = \tan x$的单调增区间为$\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)(k \in \mathbf{Z})$，所以函数$f(x)$在$\left(-\frac{5\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi\right), k \in \mathbf{Z}$上单调递增，故C错误；对D：由C知当$k = 1$时，$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right)$上单调递增，所以$f\left(\frac{\pi}{4}\right) ＜ f\left(\frac{\pi}{3}\right)$，故D正确。故选D。

4. * 已知函数$ f(x) = 2\tan \omega x(\omega ＞ 0) $的图象与直线$ y = 2 $的相邻交点间的距离为$ \pi $，若定义$ \max \{a,b\} = \begin{cases}a, a \geq b, \\ b, a ＜ b,\end{cases}$则函数$ h(x) = \max \{f(x),f(x)\cos x\} $在区间$ \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right) $内的图象是( )

答案： 4.A 解析：根据题意，$f(x) = 2\tan \omega x(\omega ＞ 0)$的图象与直线$y = 2$的相邻交点间的距离为$\pi$，所以$f(x) = 2\tan \omega x(\omega ＞ 0)$的周期为$\pi$，则$\omega = \frac{\pi}{T} = \frac{\pi}{\pi} = 1$，所以$h(x) = \max\{2\tan x, 2\sin x\} = \begin{cases}2\sin x, x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right], \\2\tan x, x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right).\end{cases}$由正弦函数和正切函数图象可知A正确。故选A。

5. *(多选)已知函数$ f(x) = \tan x - \dfrac{1}{\tan x} $，则(BD)

A.$ f(x) $的最小正周期为$ \pi $
B.$ f(x) $的图象关于原点对称
C.$ f(x) $有最小值
D.$ f(x) $在$ \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) $上为增函数

答案： 5.BD 解析：对于A中，由$f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right)} = -\frac{1}{\tan x} + \tan x = f(x)$，所以$\frac{\pi}{2}$是$f(x)$的最小正周期，所以A错误；对于B中，由$f(x)$的定义域关于原点对称，且$f(-x) = \tan(-x) - \frac{1}{\tan(-x)} = -\tan x + \frac{1}{\tan x} = -f(x)$，所以$f(x)$的图象关于原点对称，所以B正确；对于C中，由A可知$\frac{\pi}{2}$是$f(x)$的最小正周期，令$t = \tan x$，又$t = \tan x$在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上的值域为$(0, +\infty)$，且$y = t - \frac{1}{t}$在$(0, +\infty)$上单调递增，值域为$\mathbf{R}$，可得$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$，所以C错误；对于D中，由$t = \tan x$在$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$上单调递增，$t \in (1, +\infty)$，且$y = t - \frac{1}{t}$在$(1, +\infty)$上也单调递增，所以$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$上也单调递增，所以D正确。故选BD。

6. *(2025·江苏镇江高一期末)已知函数$ f(x) = \tan(x + \theta) $，$ \theta \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) $。甲：当$ x \in \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) $时，函数$ f(x) $单调递减；乙：函数$ f(x) $的图象关于直线$ x = \dfrac{\pi}{3} $对称；丙：函数$ y = f(x) $图象的一个对称中心为$ \left(\dfrac{\pi}{6},0\right) $。甲、乙、丙三人对函数$ f(x) $的论述中有且只有一人正确，则$ \theta = $ $\frac{\pi}{3}$.

答案： 6.$\frac{\pi}{3}$ 解析：因为$f(x) = \tan(x + \theta)$可以由$y = \tan x$向左平移$\theta$个单位长度得到，由于$y = \tan x$没有对称轴，故$f(x)$没有对称轴，因此乙的论述是错误的，由于$y = \tan x$在$\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)(k \in \mathbf{Z})$上单调递增，不存在减区间，故$f(x)$也不存在减区间，因此甲的论述是错误的，故丙的论述是正确的，即函数$f(x)$的图象关于$\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$对称，由于$y = \tan x$的对称中心为$\left(\frac{k\pi}{2}, 0\right)(k \in \mathbf{Z})$，故$f(x)$的对称中心为$\left(\frac{k\pi}{2} - \theta, 0\right)(k \in \mathbf{Z})$，则$\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}k\pi - \theta, k \in \mathbf{Z}$，故$\theta = -\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}k\pi, k \in \mathbf{Z}$，结合$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，则$\theta = \frac{\pi}{3}$。故答案为$\frac{\pi}{3}$。

7. * 已知函数$ y = -\tan^2 x + 4\tan x + 1 $，$ x \in \left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right] $，则其值域为 $[-4, 4]$.

答案： 7.$[-4, 4]$ 解析：令$t = \tan x$，$x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$，显然$t = \tan x$在$\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$上单调递增，因此$t \in [-1, 1]$，则原函数化为$y = -t^2 + 4t + 1 = -(t - 2)^2 + 5$，而$y = -t^2 + 4t + 1$在$t \in [-1, 1]$上单调递增，于是当$t = -1$，即$x = -\frac{\pi}{4}$时，$y_{\min} = -4$，当$t = 1$，即$x = \frac{\pi}{4}$时，$y_{\max} = 4$，所以原函数的值域为$[-4, 4]$。故答案为$[-4, 4]$。

8. * 已知定义在$ \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) $上的函数$ f(x) = x^3 + \tan x + 2 $，则不等式$ f(x - 2) + f\left(\dfrac{x}{2}\right) ＞ 4 $的解集是 $\left(\frac{4}{3}, \pi\right)$.

答案： 8.$\left(\frac{4}{3}, \pi\right)$ 解析：由$f\left(x - 2\right) + f\left(\frac{x}{2}\right) ＞ 4$，得$f(x - 2) - 2 ＞ -\left[f\left(\frac{x}{2}\right) - 2\right]$，令$g(x) = f(x) - 2 = x^3 + \tan x$，则$g(-x) + g(x) = -x^3 - \tan x + x^3 + \tan x = 0$，故$g(x)$为奇函数，则$f(x - 2) - 2 ＞ -\left[f\left(\frac{x}{2}\right) - 2\right]$等价于$g(x - 2) ＞ -g\left(\frac{x}{2}\right) = g\left(-\frac{x}{2}\right)$，因为$y = x^3$，$y = \tan x$在$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$上单调递增，则$g(x)$在$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$上单调递增，所以$\begin{cases}-\frac{\pi}{2} ＜ x - 2 ＜ \frac{\pi}{2}, \\-\frac{\pi}{2} ＜ -\frac{x}{2} ＜ \frac{\pi}{2}, \\x - 2 ＞ -\frac{x}{2},\end{cases}$解得$\frac{4}{3} ＜ x ＜ \pi$。故答案为$\left(\frac{4}{3}, \pi\right)$。

9. *(2025·湖南永州高一期末)函数$ f(x) = \tan(\omega x + \varphi) $($ \omega ＞ 0 $，$ |\varphi| ＜ \dfrac{\pi}{2} $)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为$ 6\pi $，则函数$ y = f(x) $的解析式为 $f(x) = \tan\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{3}\right)$.

答案：
9.$f(x) = \tan\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{3}\right)$ 解析：如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得$|AB| = 3$，设函数$f(x)$的最小正周期为$T$，则$|AD| = T$，由题意可得$3T = 6\pi$，解得$T = 2\pi$，可得$\omega = \frac{\pi}{T} = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$，即$f(x) = \tan\left(\frac{1}{2}x + \varphi\right)$。又$f(x)$的图象过点$\left(\frac{\pi}{6}, -1\right)$，即$\tan\left(\frac{1}{2} × \frac{\pi}{6} + \varphi\right) = \tan\left(\frac{\pi}{12} + \varphi\right) = -1$，因为$\varphi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，所以$\frac{\pi}{12} + \varphi = -\frac{\pi}{4}$，解得$\varphi = -\frac{\pi}{3}$。故$f(x) = \tan\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{3}\right)$。