《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. 已知$a＞0,b＞0$，且$\sqrt{a}+3\sqrt{b}=6$，则$ab$的最大值是 (A)

A.$9$
B.$6$
C.$4\sqrt{3}$
D.$3$

答案： 1.A 解析：因为$a＞0,b＞0$，且$\sqrt{a}+3\sqrt{b}=6$，所以$\sqrt{a}+3\sqrt{b}\geq2\sqrt{\sqrt{a}·3\sqrt{b}}$，即$6\geq2\sqrt{3\sqrt{ab}}$，解得$0＜ab\leq9$，当且仅当$\sqrt{a}=3\sqrt{b}$，即$a=9b=9$时，等号成立，所以$ab$的最大值是$9$。故选A。

2. (2025·广东汕头高一月考)已知$a＞0$，$b＞0$且$ab=2$，则$(a+1)(b+2)$的最小值为 (D)

A.$4$
B.$6$
C.$2\sqrt{2}$
D.$8$

答案： 2.D 解析：$a＞0,b＞0$且$ab=2$，则$(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4+2a+b\geq4+2\sqrt{2a· b}=8$，当且仅当$2a=b$，即$a=1,b=2$时取等号，所以当$a=1,b=2$时，$(a+1)(b+2)$的最小值为$8$。故选D。

3. * (2025·浙江宁波高一月考)若$y＞0$，$\frac{4}{x^{2}}+y=1$，则$x^{2}+\frac{1}{y}$的最小值为 (B)

A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$

答案： 3.B 解析：$x^{2}+\frac{1}{y}=\left(x^{2}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{4}{x^{2}}+y\right)=5+\frac{4}{x^{2}y}+x^{2}y\geq5+2\sqrt{\frac{4}{x^{2}y}· x^{2}y}=9$，当且仅当$x^{2}=6,y=\frac{1}{3}$时取到最小值。故选B。

4. * (2025·浙江杭州高一期中)已知实数$x,y$满足$x＞0,y＞0$，$2xy=3x+y+1$，则$xy$的最小值是$\frac{4+\sqrt{15}}{2}$。

答案： 4.$\frac{4+\sqrt{15}}{2}$ 解析：由$2xy=3x+y+1$，可得$2xy-1=3x+y\geq2\sqrt{3xy}$，当且仅当$3x=y$时取等号，即$2(\sqrt{xy})^{2}-2\sqrt{3}·\sqrt{xy}-1\geq0$，设$t=\sqrt{xy}$，则得$2t^{2}-2\sqrt{3}· t-1\geq0$，解得$t\leq\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$或$t\geq\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$，因为$t=\sqrt{xy}＞0$，所以$xy\geq\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}$，
即$xy\geq\frac{4+\sqrt{15}}{2}$。由$\begin{cases}3x=y,\\2xy=3x+y+1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{15}}{6},\\y=\frac{3+\sqrt{15}}{2},\end{cases}$即当$x=\frac{3+\sqrt{15}}{6},y=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$时，$xy$取得最小值为$\frac{4+\sqrt{15}}{2}$。故答案
为$\frac{4+\sqrt{15}}{2}$

5. * （2025·安徽合肥高一期中）已知正实数$a,b$满足$a+2b=4$。
（1）求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值；
（2）求$a^{2}+4b^{2}+5ab$的最大值。

答案： 5.解：
(1)由$a＞0,b＞0,a+2b=4$，得$\frac{1}{4}(a+2b)=1$，所以$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{4}(a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)=\frac{1}{4}\left(5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)\geq\frac{1}{4}\left(5+2\sqrt{\frac{2a}{b}·\frac{2b}{a}}\right)=\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{2a}{b}=\frac{2b}{a}$，即$a=b=\frac{4}{3}$时，等号成
立，所以$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$
(2)$a^{2}+4b^{2}+5ab=(a+2b)^{2}+ab=16+\frac{1}{2}a·2b\leq16+\frac{1}{2}\left(\frac{a+2b}{2}\right)^{2}=18$，当且仅当$a=2b$，即$a=2,b=1$时，等号成
立，所以$a^{2}+4b^{2}+5ab$的最大值为$18$。

6. * 若$x＜0$，则$\frac{x^{2}+3}{x-1}$的最大值是 (B)

A.$2$
B.$-2$
C.$4$
D.$-4$

答案： 6.B 解析：因为$x＜0$，所以$1-x＞0$，$\frac{x^{2}+3}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}+2(x-1)+4}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}+2=-\left(1-x+\frac{4}{1-x}\right)+2\leq-2\sqrt{4}+2=-2$，当且仅当$1-x=\frac{4}{1-x}$，即$x=-1$时，等号成立。故选B。

7. * $\frac{x-1}{x^{2}-4x+7}(x＞1)$的最大值为$\frac{1}{2}$。

答案： 7.$\frac{1}{2}$ 解析：令$x-1=t$，则$x=t+1,t＞0$，所以$\frac{x-1}{x^{2}-4x+7}=\frac{t}{(t+1)^{2}-4(t+1)+7}=\frac{t}{t^{2}-2t+4}=\frac{1}{t+\frac{4}{t}-2}\leq\frac{1}{2\sqrt{t·\frac{4}{t}}-2}=\frac{1}{2}$，
当且仅当$t=\frac{4}{t}$，即$t=2$时，等号成立。所以$\frac{x-1}{x^{2}-4x+7}(x＞1)$的
最大值为$\frac{1}{2}$.故答案为$\frac{1}{2}$

8. * 当$x＞0$时，函数$y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}$的最小值是$\frac{3}{4}$。

答案： 8.$\frac{3}{4}$ 解析：$\because x＞0,\therefore y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}=1-\frac{x}{x^{2}+2x+1}=1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+2}\geq1-\frac{1}{2\sqrt{x·\frac{1}{x}}+2}$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x=1$时取等号，
$\therefore$函数$y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}$的最小值是$\frac{3}{4}$.故答案为$\frac{3}{4}$

9. * (2025·江苏南京二十九中高一月考)对于任意实数$a,b$，$(a-b)^{2}\geq kab$均成立，则实数$k$的取值范围是 (B)

A.$\{-4,0\}$
B.$[-4,0]$
C.$(-\infty,0]$
D.$(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)$

答案： 9.B 解析：若$ab=0,k\in R$；若$ab＞0,k\leq\frac{(a-b)^{2}}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2$，因为$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\geq2\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{b}{a}}-2=0$，所以$k\leq0$；若
$ab＜0,k\geq\frac{(a-b)^{2}}{ab}=-\left(-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)-2$，因为$-\left(-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)-2\leq-2\sqrt{\left(-\frac{a}{b}\right)·\left(-\frac{b}{a}\right)}-2=-4$，所以$k\geq-4$，
所以$-4\leq k\leq0$，即$k\in[-4,0]$.故选B.

10. * (2025·安徽芜湖高一期中)已知$a＞0$，$b＞0$，$a+b=ab-3$，若不等式$a+b\geq2m^{2}-12$恒成立，则$m$的最大值为 (C)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$7$

答案： 10.C 解析：$a+b=ab-3\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-3$，当且仅当$a=b=3$时，等
号成立，所以$\frac{(a+b)^{2}}{4}-(a+b)-3\geq0,(a+b)^{2}-4(a+b)-12\geq0,(a+b+2)(a+b-6)\geq0$，所以$a+b\geq6$，而不等式$a+b\geq2m^{2}-12$恒成立，所以$2m^{2}-12\leq6,m^{2}\leq9$，所以$-3\leq m\leq3$，所以$m$的最大值为$3$.故选C.

11. (2025·安徽池州高一期中)已知$x＞0$，$y＞0$，且$x+y=5$，若$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq2m+1$恒成立，则实数$m$的取值范围是 (B)

A.$(-\infty,\frac{2}{5}]$
B.$(-\infty,\frac{1}{16}]$
C.$(-\infty,\frac{1}{2}]$
D.$(-\infty,4]$

答案： 11.B 解析：因为$x＞0,y＞0$，且$x+y=5$，则$x+1+y+2=8$，所以
$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+2}=\frac{1}{8}\left(\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+2}\right)[(x+1)+(y+2)]=\frac{1}{8}\left[5+\frac{4(y+2)}{x+1}+\frac{x+1}{y+2}\right]\geq\frac{1}{8}\left[5+2\sqrt{\frac{4(y+2)}{x+1}·\frac{x+1}{y+2}}\right]=\frac{9}{8}$，当且仅
当$\frac{4(y+2)}{x+1}=\frac{x+1}{y+2}$，即当$x=\frac{13}{3},y=\frac{2}{3}$时等号成立，所以$x＞0,y＞0$，
$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+2}$的最小值为$\frac{9}{8}$.因为$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq2m+1$恒成立，所
以$2m+1\leq\frac{9}{8}$，解得$m\leq\frac{1}{16}$，所以实数$m$的取值范围是
$\left(-\infty,\frac{1}{16}\right]$.故选B.

12. (2025·辽宁盘锦高一期中)若不等式$x^{2}+2\sqrt{2}xy\leq t(3x^{2}+y^{2})$对一切正数$x,y$恒成立，则实数$t$的取值范围为$[1,+\infty)$。

答案： 12.$[1,+\infty)$ 解析：不等式$x^{2}+2\sqrt{2}xy\leq t(3x^{2}+y^{2})$对一切正数
$x,y$恒成立，即不等式$t\geq\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+2\sqrt{2}·\frac{x}{y}}{3\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+1}$对一切正数$x,y$
恒成立，令$a=\frac{x}{y}＞0$，所以$t\geq\frac{a^{2}+2\sqrt{2}a}{3a^{2}+1}=\frac{a^{2}+\frac{1}{3}+2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}}{3a^{2}+1}=\frac{\frac{1}{3}+2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}}{3a^{2}+1}=\frac{2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}}{3a^{2}+1}$恒成立，所以不妨让$2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}}{3a^{2}+1}+\frac{1}{3}\geq0$，则$\frac{1}{3}+\frac{3}{8}\left(2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}\right)+\frac{25}{24}\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\leq\frac{\frac{1}{3}+\frac{3}{8}\left(2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}\right)+\frac{25}{24}}{2\sqrt{2}a-\frac{1}{3}+1}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{3}{8}·\frac{25}{24}+\frac{1}{4}\right)}{1}$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{8}·\frac{25}{24}+\frac{1}{4}}}=1$，当且仅当$a=\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$时，等号
成立，综上所述，当$y=\sqrt{2}x＞0$时，$\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+2\sqrt{2}·\frac{x}{y}}{3\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+1}$有最大
值$1$，所以$t$的取值范围为$[1,+\infty)$.故答案为$[1,+\infty)$.