《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

10. 使$ y = 3 - \cos \dfrac{x}{2} $取最小值的$ x $的集合是(A)

A.$ \left\{ x \mid x = 4k\pi, k \in \mathbf{Z} \right\} $
B.$ \left\{ x \mid x = 2k\pi, k \in \mathbf{Z} \right\} $
C.$ \left\{ x \mid x = k\pi, k \in \mathbf{Z} \right\} $
D.$ \left\{ x \mid x = \dfrac{3}{2}k\pi, k \in \mathbf{Z} \right\} $

答案： 10. A 解析：由于$-1 \leq \cos \frac{x}{2} \leq 1$，所以当$\frac{x}{2} = 2k\pi, x = 4k\pi$时，
函数$y = 3 - \cos \frac{x}{2}$取得最小值为2.故使$y = 3 - \cos \frac{x}{2}$取最小值的$x$的集合是$\{x|x = 4k\pi, k \in \mathbf{Z}\}$.故选A.

11. (2025·黑龙江哈尔滨师大附中高一期末)函数$ f(x) = \lg (2\sin x - 1) $的定义域为$\{ x| 2k\pi + \frac{\pi}{6} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{5\pi}{6}, k \in \mathbf{Z} \}$。

答案： 11. $\{ x| 2k\pi + \frac{\pi}{6} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{5\pi}{6}, k \in \mathbf{Z} \}$ 解析：对于函数$f(x) =$
$\lg(2\sin x - 1)$，有$2\sin x - 1 ＞ 0$，可得$\sin x ＞ \frac{1}{2}$，解得$2k\pi + \frac{\pi}{6} ＜$
$x ＜ 2k\pi + \frac{5\pi}{6} (k \in \mathbf{Z})$，因此函数$f(x) = \lg(2\sin x - 1)$的定义域
为$\{ x| 2k\pi + \frac{\pi}{6} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{5\pi}{6}, k \in \mathbf{Z} \}$.
故答案为$\{ x| 2k\pi + \frac{\pi}{6} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{5\pi}{6}, k \in \mathbf{Z} \}$.

12. 若关于$ x $的方程$ a\sin x - 2a + 1 = 0 $在$ \mathbf{R} $上有解，则实数$ a $的取值范围为$[\frac{1}{3},1]$。

答案： 12. $[\frac{1}{3},1]$ 解析：当$a = 0$时，显然不成立.当$a \neq 0$时，
$\sin x = \frac{2a - 1}{a}$，又$\sin x \in [-1,1]$，所以$-1 \leq \frac{2a - 1}{a} \leq 1$，当$a ＜ 0$
时，无解；当$a ＞ 0$时，解得$\frac{1}{3} \leq a \leq 1$.所以$a \in [\frac{1}{3},1]$.故答案为$[\frac{1}{3},1]$.

13. (多选)下列函数中，是奇函数的是(ACD)

A.$ y = x^2 \sin x $
B.$ y = \sin x, x \in [0, 2\pi] $
C.$ y = \sin x, x \in [-\pi, \pi] $
D.$ y = x\cos x $

答案： 13. ACD 解析：对A，由$y = f(x) = x^{2}\sin x$，定义域为$\mathbf{R}$，且
$f(-x) = (-x)^{2}\sin(-x) = -x^{2}\sin x = -f(x)$，故函数$y = x^{2}\sin x$
为奇函数，故A正确；
对B，由函数的定义域为$x \in [0,2\pi]$，故该函数为非奇非偶函数，故B错误；
对C，$y = g(x) = \sin x$，定义域关于原点对称，且$g(-x) =$
$\sin(-x) = -\sin x = -g(x)$，故C正确；
对D，$y = m(x) = x\cos x$的定义域为$\mathbf{R}$，且$m(-x) = (-x) ·$
$\cos(-x) = -x\cos x = -m(x)$，故该函数为奇函数，故D正确.
故选ACD.

14. (2025·江苏无锡一中高一期末)“$ \varphi = \dfrac{\pi}{2} $”是“函数$ y = \cos (x + \varphi) $为奇函数”的(A)

A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 14. A 解析：当$\varphi = \frac{\pi}{2}$时，$y = \cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$为奇函数，故
充分性成立；当函数$y = \cos(x + \varphi)$为奇函数，故$\varphi = \frac{\pi}{2} +$
$k\pi, k \in \mathbf{Z}$，故必要性不成立；则“$\varphi = \frac{\pi}{2}$”是“函数$y = \cos(x +$
$\varphi)$为奇函数”的充分而不必要条件.故选A.

15. 函数$ f(x) = \sin x, g(x) = \cos x $，则下列结论正确的是(C)

A.$ f(x)g(x) $是偶函数
B.$ |f(x)|g(x) $是奇函数
C.$ f(x)|g(x)| $是奇函数
D.$ |f(x)g(x)| $是奇函数

答案： 15. C 解析：选项A，因为$f(x)g(x) = \sin x\cos x$的定义域为$\mathbf{R}$，
又$f(-x)g(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = -\sin x\cos x = -f(x)g(x)$，
所以$f(x)g(x)$是奇函数，故A错误；
选项B，因为$|f(x)|g(x) = |\sin x|\cos x$的定义域为$\mathbf{R}$，
又$|f(-x)|g(-x) = |\sin(-x)|\cos(-x) = |\sin x|\cos x =$
$f(x)g(x)$，所以$|f(x)|g(x)$是偶函数，故B错误；
选项C，因为$f(x)|g(x)| = \sin x|\cos x|$的定义域为$\mathbf{R}$，
又$f(-x)|g(-x)| = \sin(-x)|\cos(-x)| = -\sin x|\cos x| =$
$-f(x)g(x)$，
所以$f(x)|g(x)|$是奇函数，故C正确；
选项D，因为$|f(x)g(x)| = |\sin x\cos x|$的定义域为$\mathbf{R}$，
又$|f(-x)g(-x)| = |\sin(-x)\cos(-x)| = |\sin x\cos x| =$
$|f(x)g(x)|$，所以$|f(x)g(x)|$是偶函数，故D错误.故选C.

16. 已知函数$ f(x) = \sin 2x + \dfrac{1}{x^3} + 1 $，若$ f(a) = 3 $，则$ f(-a) = $(B)

A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 16. B 解析：因为$f(a) = \sin 2a + \frac{1}{a^{3}} + 1 = 3$，所以$f(-a) =$
$\sin(-2a) + \frac{1}{(-a)^{3}} + 1 = -(\sin 2a + \frac{1}{a^{3}} + 1) + 2 = -3 + 2 = -1$.故选B.

17. 使得函数$ y = \sin x $为减函数，且值为负数的区间为(C)

A.$ \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right) $
B.$ \left( \dfrac{\pi}{2}, \pi \right) $
C.$ \left( \pi, \dfrac{3\pi}{2} \right) $
D.$ \left( \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi \right) $

答案： 17. C 解析：由$y = \sin x$的图象与性质可知$x \in (\pi,\frac{3\pi}{2})$时，函数单调递减，且函数值为负数.故选C.

18. (2025·河北衡水高一期中)函数$ f(x) = \cos \left( \dfrac{\pi}{6} - x \right) $的单调递减区间是(A)

A.$ \left[ 2k\pi + \dfrac{\pi}{6}, 2k\pi + \dfrac{7\pi}{6} \right], k \in \mathbf{Z} $
B.$ \left[ 2k\pi - \dfrac{5\pi}{6}, 2k\pi + \dfrac{\pi}{6} \right], k \in \mathbf{Z} $
C.$ \left[ 2k\pi + \dfrac{7\pi}{6}, 2k\pi + \dfrac{13\pi}{6} \right], k \in \mathbf{Z} $
D.$ \left[ 2k\pi, 2k\pi + \pi \right], k \in \mathbf{Z} $

答案： 18. A 解析：方法一：已知$\cos(\frac{\pi}{6} - x) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$，则$f(x)$
可以由$y = \cos x$向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到，因此$f(x)$的单调递减区间为$[2k\pi + \frac{\pi}{6},2k\pi + \frac{7\pi}{6}], k \in \mathbf{Z}$.故选A.
方法二：已知$\cos(\frac{\pi}{6} - x) = \cos(x - \frac{\pi}{6}),f(x)$可以看作是
由函数$y = \cos x$与$y = x - \frac{\pi}{6}$复合得到的，其中$y = x - \frac{\pi}{6}$在$\mathbf{R}$
上单调递增，$y = \cos x$的单调减区间为$[2k\pi,2k\pi + \pi] (k \in \mathbf{Z})$，根据复合函数同增异减，令$2k\pi \leq x - \frac{\pi}{6} \leq 2k\pi + \pi, k \in$
$\mathbf{Z}$，得$2k\pi + \frac{\pi}{6} \leq x \leq 2k\pi + \frac{7\pi}{6}, k \in \mathbf{Z}$，所以函数$f(x) =$
$\cos(\frac{\pi}{6} - x)$的单调递减区间为$[2k\pi + \frac{\pi}{6},2k\pi + \frac{7\pi}{6}], k \in$
$\mathbf{Z}$.故选A.

19. (多选)(2025·湖北武汉高一期末)下列不等式成立的是(BD)

A.$ \sin \left( -\dfrac{\pi}{8} \right) ＞ \sin \left( -\dfrac{\pi}{10} \right) $
B.$ \cos 400° ＞ \cos (-50°) $
C.$ \sin 3 ＞ \sin 2 $
D.$ \sin \left( \dfrac{7\pi}{8} \right) ＞ \sin \left( \dfrac{8\pi}{7} \right) $

答案： 19. BD 解析：因为$-\frac{\pi}{2} ＜ -\frac{\pi}{8} ＜ -\frac{\pi}{10} ＜ 0$，且函数$y = \sin x$在
$(-\frac{\pi}{2},0)$上单调递增，则$\sin(-\frac{\pi}{8}) ＜ \sin(-\frac{\pi}{10})$，故
选项A错误；因为$\cos 400^{\circ} = \cos(360^{\circ} + 40^{\circ}) = \cos 40^{\circ}$，
$\cos(-50^{\circ}) = \cos 50^{\circ}$，且函数$y = \cos x$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，则$\cos 40^{\circ} ＞ \cos 50^{\circ}$，即$\cos 400^{\circ} ＞ \cos(-50^{\circ})$，故选项
B正确；因为$\frac{\pi}{2} ＜ 2 ＜ 3 ＜ \frac{3\pi}{2}$，且函数$y = \sin x$在$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$上
单调递减，则$\sin 3 ＜ \sin 2$，故选项C错误；因为$\frac{\pi}{2} ＜ \frac{7\pi}{8} ＜ \frac{8\pi}{7} ＜$
$\frac{3\pi}{2}$，且函数$y = \sin x$在$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$上单调递减，则
$\sin(\frac{7\pi}{8}) ＞ \sin(\frac{8\pi}{7})$，故选项D正确.故选BD.

20. (2025·广东广州高一期末)若函数$ y = \cos x $在区间$ [-\pi, \alpha] $上单调递增，则$ \alpha $的取值范围是$(-\pi,0]$。

答案： 20. $(-\pi,0]$ 解析：$\because y = \cos x$在$[-\pi,0]$上单调递增，在
$[0,\pi]$上单调递减，$\therefore -\pi ＜ \alpha \leq 0$.故答案为$(-\pi,0]$.

21. (多选)(2025·浙江杭州高一月考)函数$ y = 1 + \cos x, x \in \left( \dfrac{\pi}{3}, 2\pi \right) $的图象与直线$ y = t $($ t $为常数)的交点可能有(ABC)

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案：
21. ABC 解析：画出$y = 1 + \cos x$在$x \in (\frac{\pi}{3},2\pi)$的图象如下：

则可得当$t ＜ 0$或$t \geq 2$时，$y = 1 + \cos x$与$y = t$的交点个数为0；当$t = 0$或$\frac{3}{2} \leq t ＜ 2$时，$y = 1 + \cos x$与$y = t$的交点个数为1；当0 ＜ t ＜ $\frac{3}{2}$时，$y = 1 + \cos x$与$y = t$的交点个数为2.故选ABC.

22. 在$ (0, 2\pi) $内，使$ \sin x ＞ \cos x $成立的$ x $的取值范围为$(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4})$。

答案：
22. $(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4})$ 解析：作出函数$y = \sin x$和$y = \cos x$在$(0,2\pi)$
内的图象，

$\because \sin x ＞ \cos x$，$\therefore$函数$y = \sin x$的图象在函数$y = \cos x$的图象上方的区间就是$\sin x ＞ \cos x$的解集，即为$(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4})$.故答案为$(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4})$.