《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. ★★ (2025·江苏苏州高一月考)设$ f:x \to y = |x| $是集合$ A $到集合$ B $的函数,如果集合$ B = \{ 1 \} $,那么集合$ A $不可能是 (B)

A.$ \{ - 1, 1 \} $
B.$ \{ - 1, 0 \} $
C.$ \{ - 1 \} $
D.$ \{ 1 \} $

答案： 1.B 解析:由题意，集合$A$到集合$B$的函数的对应关系$y = |x|$，因$|-1| = |1| = 1$，故对于$A$，$A = \{-1,1\}$时，可得$B = \{1\}$，故A符合；对于$A$，$A = \{-1\}$时，可得$B = \{1\}$，故C符合；对于$D$，$A = \{1\}$时，可得$B = \{1\}$，故D符合；对于$B$，$A = \{-1,0\}$时，$B = \{1,0\} \neq \{1\}$，故B不符合.故选B.

2. ★★ 函数$ y = \dfrac{\sqrt{x + 1}}{|2 + x| - 2} $的定义域为 (D)

A.$ ( - 1, + \infty ) $
B.$ [ - 1, + \infty ) $
C.$ ( - 1, 0 ) \cup ( 0, + \infty ) $
D.$ [ - 1, 0 ) \cup ( 0, + \infty ) $

答案： 2.D 解析:由$\begin{cases} x + 1 \geq 0, \\ |2 + x| - 2 \neq 0, \end{cases}$得$x \geq -1$且$x \neq 0$，故函数的定义域为$[-1,0) \cup (0, +\infty)$.故选D.

3. ★★★ [人教教材习题] (2025·广东广州高一期中)函数$ r = f(p) $的图象如图所示,则函数$ r = f(p) $的定义域、值域分别是 (C)


A.$ [ - 5, 0 ] $,$ [ 2, 5 ] $
B.$ [ - 5, 6 ] $,$ [ 2, 5 ] $
C.$ [ - 5, 0 ] \cup [ 2, 6 ) $,$ [ 0, + \infty ) $
D.$ [ - 5, 0 ] \cup [ 2, 6 ) $,$ ( - \infty, + \infty ) $

答案： 3.C 解析:自变量$p$可取$\{p | -5 \leq p \leq 0$或$2 \leq p ＜ 6\}$内的任意值，$\therefore$定义域为$\{p | -5 \leq p \leq 0$或$2 \leq p ＜ 6\}$.函数值范围为$\{r | 2 \leq r \leq 5$或$r \geq 0\}$，即$\{r | r \geq 0\}$，$\therefore$值域为$\{r | r \geq 0\}$.故选C.

4. ★★★ 若函数$ f(x) $和$ g(x) $分别由下表给出:

满足$ g(f(x)) = 3 $的$ x $值是 (B)

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $

答案： 4.B 解析:根据题意，$g(f(x)) = 3$，则$f(x) = 4$，所以$x = 3$.故选B.

5. ★★★ (2025·安徽马鞍山高一月考)若函数$ f(x) = \dfrac{\sqrt{m - x}}{x} $的定义域为$ ( - \infty, m ] $,则实数$ m $的取值范围是 (A)

A.$ ( - \infty, 0 ) $
B.$ ( - \infty, 0 ] $
C.$ ( 0, + \infty ) $
D.$ [ 0, + \infty ) $

答案： 5.A 解析:由$f(x) = \frac{\sqrt{m - x}}{x}$可知$x \leq m$且$x \neq 0$，又$f(x) = \frac{\sqrt{m - x}}{x}$的定义域为$(-\infty, m]$，故$m ＜ 0$，否则$0 \in (-\infty, m]$，不合题意.故选A.

6. ★★★ (2025·江苏镇江高一期中)已知$ f( \sqrt{x} + 1 ) = x + \dfrac{3}{x - 1} $,则 f(3) =_ .

答案： 6.5 解析:令$\sqrt{x} + 1 = 3$，得到$x = 4$.将$x = 4$代入$f(\sqrt{x} + 1) = x + \frac{3}{x - 1}$中，即$f(3) = 4 + \frac{3}{4 - 1} = 5$.故答案为5.

7. ★★ (2025·湖北武汉高一月考)若函数$ f(2x - 1) $的定义域为$ [ - 3, 1 ] $,则$ y = \dfrac{f(3 - 4x)}{\sqrt{x - 1}} $的定义域为_.

答案： 7.$(1, \frac{5}{2}]$ 解析:因为函数$f(2x - 1)$的定义域为$[-3,1]$，所以$-7 \leq 2x - 1 \leq 1$，所以函数$y = \frac{f(3 - 4x)}{\sqrt{x - 1}}$的定义域需满足$\begin{cases} -7 \leq 3 - 4x \leq 1, \\ x - 1 ＞ 0 \end{cases}$解得$\begin{cases} \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}, \\ x ＞ 1, \end{cases}$即$1 ＜ x \leq \frac{5}{2}$，所以函数的定义域为$(1, \frac{5}{2}]$.故答案为$(1, \frac{5}{2}]$.

8. ★★ (2025·河北衡水高一期中)函数$ f(x) = \sqrt{(m^2 - m - 6)x^2 + (m + 2)x + 8} $.
(1)若$ f(x) $的定义域为$ [ - 1, 2 ] $,求实数$ m $的值;
(2)若$ f(x) $的定义域为$ \boldsymbol{R} $,求实数$ m $的取值范围.

答案： 8.解：
(1)由于$f(x) = \sqrt{(m^2 - m - 6)x^2 + (m + 2)x + 8}$的定义域需要满足$(m^2 - m - 6)x^2 + (m + 2)x + 8 \geq 0$，结合$f(x)$的定义域为$[-1,2]$，故$x = -1$和$x = 2$是一元二次方程$(m^2 - m - 6)x^2 + (m + 2)x + 8 = 0$的两个不相等的实数根，因此$\begin{cases} m^2 - m - 6 \neq 0, \\ -1 + 2 = -\frac{m + 2}{m^2 - m - 6}, \\ -1 × 2 = \frac{8}{m^2 - m - 6} \end{cases}$解得$m = 2$.
(2)$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，则$(m^2 - m - 6)x^2 + (m + 2)x + 8 \geq 0$对任意的$x \in \mathbf{R}$均成立，当$m = 3$时，$m^2 - m - 6 = 0$，此时不等式为$5x + 8 \geq 0$，则$x$的范围不是全体实数，不符合，舍去.当$m = -2$时，$m^2 - m - 6 = 0$，此时不等式为$8 \geq 0$，则$x$的范围是全体实数，符合，当$m \neq 3$且$m \neq -2$时，$m^2 - m - 6 \neq 0$，不等式$(m^2 - m - 6)x^2 + (m + 2)x + 8 \geq 0$为一元二次不等式，要使解集为全体实数，则$\begin{cases} m^2 - m - 6 ＞ 0, \\ \Delta = (m + 2)^2 - 32(m^2 - m - 6) \leq 0 \end{cases}$解得$m \geq \frac{98}{31}$或$m ＜ -2$.综上可得$m \geq \frac{98}{31}$或$m \leq -2$.

★★★ (2025·广东汕头高一期中)已知$ a, b \in \boldsymbol{N}^* $,$ f(a + b) = f(a) · f(b) $,$ f(1) = 2 $,则 $\frac{f(4)}{f(2)}+\frac{f(6)}{f(4)}+·s+\frac{f(2022)}{f(2020)}+$$\frac{f(2024)}{f(2022)}=$ .

答案： 4044 解析:令$a = b = 1$，则$f(1 + 1) = f(2) = f(1) · f(1) = 4$，令$a = n$，$b = 2$，则$f(n + 2) = f(n) · f(2) = 4f(n)$，所以$\frac{f(4)}{f(2)} + \frac{f(6)}{f(4)} + ·s + \frac{f(2022)}{f(2020)} + \frac{f(2022)f(2)}{f(2022)} = \frac{f(2)f(2)}{f(2)} + \frac{f(4)f(2)}{f(4)} + ·s + \frac{f(2020)f(2)}{f(2020)} + \frac{f(2022)f(2)}{f(2022)} = 1011f(2) = 4044$.故答案为4044.