《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. ★ (2025·江苏无锡高一月考)已知函数$ f(x) = 1 - x^3 $,则$ f( - 2 ) = $ (D)

A.$ - 7 $
B.$ 7 $
C.$ - 5 $
D.$ 9 $

答案： 9.D 解析:$f(-2) = 1 - (-2)^3 = 9$.故选D.

10. ★★ 函数$ f(x) = \dfrac{2}{x - 1} $,$ x \in [ 2, 6 ] $的值域是 (B)

A.$ \left[ \dfrac{1}{3}, 2 \right] $
B.$ \left[ \dfrac{2}{5}, 2 \right] $
C.$ \left[ \dfrac{2}{5}, + \infty \right) $
D.$ ( - \infty, 2 ] $

答案： 10.B 解析:因为$x \in [2,6]$，所以$x - 1 \in [1,5]$，所以$\frac{2}{x - 1} \in [\frac{2}{5}, 2]$，即$f(x)$的值域为$[\frac{2}{5}, 2]$.故选B.

11. ★★ (多选)(2025·广东惠州高一月考)已知函数$ f(x) = x^2 + 1 $的值域是$ [ 1, 5 ] $,则它的定义域可能是 (ACD)

A.$ [ - 1, 2 ] $
B.$ [ - 3, 2 ] $
C.$ \left( - \dfrac{1}{2}, 2 \right] $
D.$ [ - 2, 1 ] $

答案： 11.ACD 解析:令$f(x) = x^2 + 1 = 1$，解得$x = 0$；令$f(x) = x^2 + 1 = 5$，解得$x = \pm 2$；由二次函数的图象与性质可得，若要使函数$f(x) = x^2 + 1$的值域是$[1,5]$，则它的定义域可能是$[-1,2]$，$(-\frac{1}{2}, 2]$，$[-2,1]$.故选ACD.

12. ★★ (2025·河北邯郸高一期中)若函数$ f(x) = 2x + 1 $,且$ f(2m - 1) = 7 $,则 m = _.

答案： 12.2 解析:由$f(x) = 2x + 1$，得$f(2m - 1) = 2(2m - 1) + 1 = 4m - 1 = 7$，解得$m = 2$.故答案为2.

13. ★ (2025·江苏盐城高一月考)下列函数中与函数$ y = x $相等的函数是 (B)

A.$ y = ( \sqrt{x} )^2 $
B.$ y = \sqrt[3]{x^3} $
C.$ y = \sqrt{x^2} $
D.$ y = \dfrac{x^2}{x} $

答案： 13.B 解析:函数$y = x$的定义域为$x \in \mathbf{R}$，值域为$y \in \mathbf{R}$，对于A，函数$y = (\sqrt{x})^2 = x$的定义域为$\{x | x \geq 0\}$，故A错误；对于B，函数$y = \sqrt[3]{x^3} = x$，定义域为$x \in \mathbf{R}$，值域为$y \in \mathbf{R}$，故B正确；对于C，函数$y = \sqrt{x^2} = |x|$的值域为$\{y | y \geq 0\}$，故C错误；对于D，函数$y = \frac{x^2}{x} = x$的定义域为$\{x | x \neq 0\}$，故D错误.故选B.

14. ★★ (多选)(2025·江苏无锡高一期中)下列各组函数是同一个函数的是 (AC)

A.$ f(x) = x^2 - 2x - 1 $与$ g(t) = t^2 - 2t - 1 $
B.$ f(x) = x^0 $与$ g(x) = 1 $
C.$ f(x) = \dfrac{1}{x} $与$ g(x) = \dfrac{x}{x^2} $
D.$ f(x) = \sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1} $与$ g(x) = \sqrt{x^2 - 1} $

答案： 14.AC 解析:A.只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；B.因为函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，函数$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$f(x)$与$g(x)$不是同一个函数，故B错误；C.函数$f(x)$与$g(x)$的定义域都是$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；D.函数$f(x) = \sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1}$的定义域是$[1, +\infty)$，函数$g(x)$的定义域是$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.故选AC.

15. ★★ (2025·黑龙江大庆高一月考)如图,$ A,B,C $是函数$ y = f(x) $的图象上的三点,其中$ A(1,3) $,$ B(2,1) $,$ C(3,2) $,则$ f(f(2)) $的值为 (D)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 15.D 解析:由图象可知$f(2) = 1$，所以$f(f(2)) = f(1) = 3$.故选D.

16. ★★ [苏教教材变式] 函数$ y = f(x) $图象如图所示,若$ - 1 ＜ x_1 \leqslant x_2 ＜ 2 $,则$ f(x_1) $与$ f(x_2) $的大小关系为___;若$ f(x) = 0 $,则 x = _ .

答案： 16.$f(x_1) \geq f(x_2) - 3$ 解析:由$f(x)$的图象可知在区间$(-1,2)$上$y$随着$x$的增大而减小，故可得$f(x_1) \geq f(x_2)$；由图可知，$f(x)$的图象过点$(-3,0)$，故可得$x = -3$.故答案为$f(x_1) \geq f(x_2) - 3$.

17. ★★ 作出下列函数图象,并指出其值域.
(1)$ f(x) = x^2 + x ( - 1 \leqslant x \leqslant 1 ) $;
(2)$ f(x) = \dfrac{2}{x} ( - 2 \leqslant x ＜ 1 $且$ x \neq 0 ) $.

答案：
17.解：
(1)$f(x) = x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} (-1 \leq x \leq 1)$，开口向上，对称轴为$x = -\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$，$f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 0$，$f(1) = 1^2 + 1 = 2$，二次函数$f(x) = x^2 + x$的图象为抛物线的一部分，如图:

由图象可知，函数$f(x) = x^2 + x (-1 \leq x \leq 1)$的值域为$[-\frac{1}{4}, 2]$.
(2)函数$f(x) = \frac{2}{x} (-2 \leq x ＜ 1$且$x \neq 0)$的图象为反比例函数图象的一部分，$f(-2) = \frac{2}{-2} = -1$，$f(1) = \frac{2}{1} = 2$，所以该函数图象如图:

由图象可知，函数$f(x) = \frac{2}{x} (-2 \leq x ＜ 1$且$x \neq 0)$的值域为$(-\infty, -1] \cup (2, +\infty)$.

18. ★★★ (2025·江苏无锡高一月考)已知函数$ y = f(x) $的定义域是$ [ - 1, 1 ] $,则$ y = f(2x - 1) $的定义域是 (D)

A.$ [ - 3, 1 ] $
B.$ [ - 1, 1 ] $
C.$ [ - 1, 0 ] $
D.$ [ 0, 1 ] $

答案： 18.D 解析:$\because$函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，$\therefore -1 \leq 2x - 1 \leq 1$，解得$0 \leq x \leq 1$，即函数$f(2x - 1)$的定义域为$[0,1]$.故选D.

19. ★★★ (2025·山东省实验中学期中)若函数$ f(3x + 1) $的定义域为$ [ - 1, 2 ] $,则$ f(x) $的定义域为$\boldsymbol{$[-2,7]$}$.

答案： 19.$[-2,7]$ 解析:因为函数$f(3x + 1)$的定义域为$[-1,2]$，即$-1 \leq x \leq 2$，可得$-2 \leq 3x + 1 \leq 7$，所以$f(x)$的定义域为$[-2,7]$.故答案为$[-2,7]$.

20. ★★★ (2025·江苏苏州高一月考)已知函数$ f(x) = \sqrt{4 - x^2} $,$ g(x) = 2x + 1 $,则函数$ y = f(g(x)) $的定义域为_.

答案： 20.$[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$ 解析:方法一:由函数$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$，则满足$4 - x^2 \geq 0$，可得$-2 \leq x \leq 2$，即函数$f(x)$的定义域为$[-2,2]$，对于函数$y = f(g(x))$，令$-2 \leq g(x) \leq 2$，即$-2 \leq 2x + 1 \leq 2$，解得$-\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$，即函数$y = f(g(x))$的定义域为$[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.
方法二:由$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$，$g(x) = 2x + 1$，可得$f(g(x)) = \sqrt{4 - (2x + 1)^2} = \sqrt{-4x^2 - 4x + 3}$，令$-4x^2 - 4x + 3 \geq 0$，解得$\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$，所以$f(g(x))$的定义域为$[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.故答案为$[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.
方法总结
复合函数的定义域由内外函数的定义域共同决定.由函数$y = f(t)$，$t \in D_1$与$t = g(x)$，$x \in D_2$得到的复合函数$y = f(g(x))$的定义域需满足$\begin{cases} g(x) \in D_1, \\ x \in D_2. \end{cases}$