《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2025·河北保定高一期中)若$\cos4 = t$，则$\tan4=$(A)

A.$-\frac{\sqrt{1 - t^{2}}}{t}$
B.$\frac{\sqrt{1 - t^{2}}}{t}$
C.$-\sqrt{1 - t^{2}}$
D.$\sqrt{1 - t^{2}}$

答案： 1.A 解析：$4\in (\pi,\frac{3\pi}{2})$，故$\sin 4＜0$，则$\sin 4 = -\sqrt{1 - t^{2}}$，故
$\tan 4=\frac{\sin 4}{\cos 4}=-\frac{\sqrt{1 - t^{2}}}{t}$.故选A.

2. 已知$\sin\theta=\frac{1 - a}{1 + a}$，$\cos\theta=\frac{3a - 1}{1 + a}$，若$\theta$为第二象限角，则下列结论正确的是(D)

A.$a\in\left(\frac{1}{9},1\right)$
B.$a = 1$
C.$a = 1$或$a=\frac{1}{9}$
D.$a=\frac{1}{9}$

答案： 2.D 解析：由$\sin \theta=\frac{1 - a}{1 + a},\cos \theta=\frac{3a - 1}{1 + a}$可得$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = (\frac{1 - a}{1 + a})^{2}+(\frac{3a - 1}{1 + a})^{2}=1\Rightarrow a = 1$或$a=\frac{1}{9}$，由于$\theta$为第二象限
角，所以$\sin \theta=\frac{1 - a}{1 + a}＞0,\cos \theta=\frac{3a - 1}{1 + a}＜0$，故当$a = 1$时，$\sin \theta=\frac{1 - a}{1 + a}=0$不符合要求，则$a=\frac{1}{9}$符合要求.故选D.

3. (2025·山东青岛高一月考)若$\theta\in(0,\pi)$，$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}=6$，则$\sin\theta + \cos\theta=$(A)


A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： 3.A 解析：因为$\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin \theta\cos \theta}=6$，所以$\sin \theta\cos \theta=\frac{1}{6}$，所以$(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=\frac{4}{3}$.又$\theta \in (0,\pi)$，$\sin \theta\cos \theta=\frac{1}{6}＞0,\sin \theta＞0$，
则$\cos \theta＞0$，所以$\sin \theta+\cos \theta=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.故选A.

4. (2025·江苏南通启东中学高一月考)已知$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha + 6\cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}$，且$\alpha$为第三象限角，则$\tan\alpha=$(A)

A.$2$
B.$3$
C.$-2$或$3$
D.$2$或$-3$

答案： 4.A 解析：由$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha + 6\cos \alpha}{\sin \alpha + 2\cos \alpha}=\frac{\tan \alpha + 6}{\tan \alpha + 2}$，可得$\tan^{2}\alpha+\tan \alpha - 6 = 0$，解得$\tan \alpha = - 3$或$\tan \alpha = 2$，因$\alpha$为第三象限角，
则$\tan \alpha＞0$，故$\tan \alpha = 2$.故选A.

5. (多选)(2025·江苏连云港高一期末)已知$\frac{1 + \tan x}{\sin x}=\frac{3}{4}$，则(BC)

A.$\sin x + \cos x=\frac{1}{3}$
B.$\sin x\cos x=-\frac{4}{9}$
C.$|\sin x| + |\cos x|=\frac{\sqrt{17}}{3}$
D.$\tan x=\frac{-9 - \sqrt{17}}{8}$

答案： 5.BC 解析：因为$\frac{1 + \tan x}{\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=\frac{3}{4}$，令$t=\sin x+\cos x$，则$\sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}$，代入得$\frac{t}{t^{2}-1}=\frac{3}{4}$，整理可得
$3t^{2}-8t - 3 = 0$，解得$t=-\frac{1}{3}$或$t = 3$（舍去），所以$\sin x+\cos x=\frac{1}{3},\sin x\cos x=-\frac{4}{9}$，故A错误，B正确；设$\sin x = u$，则
$\cos x=\frac{1}{3}-u$，所以$\sin x\cos x=u(\frac{1}{3}-u)$，所以$u^{2}+\frac{1}{3}u-\frac{4}{9}=0$，解得$u=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{6}$，即
$\sin x=\frac{-1-\sqrt{17}}{6}$或$\sin x=\frac{-1+\sqrt{17}}{6}$，
$\cos x=\frac{-1+\sqrt{17}}{6}$或$\cos x=\frac{-1-\sqrt{17}}{6}$，
所以$|\sin x|+|\cos x|=\frac{\sqrt{17}-1}{6}+\frac{\sqrt{17}+1}{6}=\frac{\sqrt{17}}{3}$，故C正确；$\tan x=\frac{-1-\sqrt{17}}{6}÷\frac{-1+\sqrt{17}}{6}=\frac{-9-\sqrt{17}}{8}$或$\tan x=\frac{-1+\sqrt{17}}{6}÷\frac{-9+\sqrt{17}}{8}$，故D错
误.故选BC.

6. 已知$\sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha=\frac{2}{3}$，其中$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则$\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha=$ $\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

答案： 6.$\frac{4\sqrt{2}}{3}$ 解析：方法一：因为$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\sqrt{3}\sin \alpha+\cos \alpha＞0,\sqrt{3}\sin \alpha+\cos \alpha=m＞0$ ①，$\sin \alpha-\sqrt{3}\cos \alpha=\frac{2}{3}$ ②，①² +
②²得$4(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=m^{2}+\frac{4}{9}=4$，解得$m^{2}=\frac{32}{9}$，因为$m＞0$，
所以$m=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，即$\sqrt{3}\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.故答案为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
方法二：由$\sin \alpha-\sqrt{3}\cos \alpha=\frac{2}{3}$得$\sin \alpha=\sqrt{3}\cos \alpha+\frac{2}{3}$，两边平
方得$\sin^{2}\alpha=(\sqrt{3}\cos \alpha+\frac{2}{3})^{2}$，即$1 - \cos^{2}\alpha=3\cos^{2}\alpha+\frac{4\sqrt{3}}{3}\cos \alpha+\frac{4}{9}$，整理得$4\cos^{2}\alpha+\frac{4\sqrt{3}}{3}\cos \alpha-\frac{5}{9}=0$，解得$\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{6}\pm\frac{1}{3}$，又$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\cos \alpha＞0$，所以$\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\sin \alpha=\sqrt{3}\cos \alpha+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以$\sqrt{3}\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{3}×(\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{6}}{3})+(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.故答案为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

7. 已知$f(\tan x)=\frac{1}{\cos^{2}x}$，则$f(-\sqrt{3})=$ 4.

答案： 7.4 解析：$f(\tan x)=\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}=\tan^{2}x + 1,\therefore f(x)=x^{2}+1$，
$\therefore f(-\sqrt{3})=4$.故答案为4.

8. (2025·湖北荆州高一月考)化简：$\frac{1 - \cos^{4}\alpha - \sin^{4}\alpha}{1 - \cos^{6}\alpha - \sin^{6}\alpha}=$ $\frac{2}{3}$.

答案： 8.$\frac{2}{3}$ 解析：原式$=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha-\cos^{3}\alpha-\sin^{4}\alpha}{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha-\cos^{6}\alpha-\sin^{6}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha(1-\cos^{2}\alpha)+\sin^{2}\alpha(1-\sin^{2}\alpha)}{\cos^{2}\alpha(1-\cos^{4}\alpha)+\sin^{2}\alpha(1-\sin^{4}\alpha)}=\frac{2\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha}{2\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha}=\frac{2}{3}$.故答案为$\frac{2}{3}$.

9. （2025·河南南阳高一月考）已知关于$x$的方程$4x^{2} - 2(\sqrt{3} + 1)x + m = 0$的两个根分别为$\sin\theta$和$\cos\theta$，且$\theta\in(-2\pi,0)$。
(1) 求$\frac{\sin\theta}{1 - \frac{1}{\tan\theta}} + \frac{\cos\theta}{1 - \tan\theta}$的值；
(2) 求$m$的值；
(3) 求方程的两根及$\theta$的值。

答案： 9.解：
(1)因为$\sin \theta$和$\cos \theta$是方程的两个根，所以$\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
$\sin \theta\cos \theta=\frac{m}{4}$，原式$=\frac{\sin^{2}\theta}{\sin \theta - \cos \theta}+\frac{\cos^{2}\theta}{\cos \theta - \sin \theta}=\frac{\sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta}{\sin \theta - \cos \theta}=\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
$|4(\sqrt{3}+1)^{2}-16m＞0$，
$\frac{\sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta}{\sin \theta - \cos \theta}=\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
(2)因为$\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，所以$(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=1 + 2\sin \theta\cos \theta=(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}$，所以$1 + 2×\frac{m}{4}=(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}$，解
得$m=\sqrt{3}$.
(3)由
(2)可知，$m=\sqrt{3}$，所以方程为$4x^{2}-2(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}=0$，
其两根为$x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{1}{2}$，所以$\begin{cases}\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos \theta=\frac{1}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}\sin \theta=\frac{1}{2}\\\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$，
又因为$\theta\in(-2\pi,0)$，所以$\theta=-\frac{5\pi}{3}$或$\theta=-\frac{11\pi}{6}$.