《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * 下列函数是幂函数的是 (D)

A.$y = 2x$
B.$y = 2x - 1$
C.$y = (x + 1)^2$
D.$y = \sqrt[3]{x^2}$

答案： 1.D 解析:根据幂函数的定义，A,B,C均不是幂函数，只有D选项$y=\sqrt[3]{x^{2}}=x^{\frac{2}{3}}$，形如$y=x^{\alpha}$($\alpha$为常数)，是幂函数，所以D正确.故选D.

2. * (2025·重庆西南大学附中高一月考)幂函数$f(x)$的图象过点$(\frac{1}{8}, 2\sqrt{2})$，则 (B)

A.$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$
B.$f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$
C.$f(x) = x^{\frac{3}{2}}$
D.$f(x) = x^{-2}$

答案： 2.B 解析:设$f(x)=x^{\alpha}$，则$f(\frac{1}{8})=(\frac{1}{8})^{\alpha}=2\sqrt{2}$，所以$\alpha=-\frac{1}{2}$，所以$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$.故选B.

3. (多选)已知$f(x) = (m^2 - 10m - 10)x^m$是幂函数，则$m$的值可能为 (AD)

A.11
B.9
C.1
D.-1

答案： 3.AD 解析:根据幂函数定义可知$m^{2}-10m-10=1$，即$m^{2}-10m-11=0$，可得$(m+1)(m-11)=0$，解得$m=11$或$m=-1$.故选AD.
方法总结
幂函数为形如$y=x^{\alpha}$的函数，即指数式的系数为1，底数为自变量$x$，且不含有常数项.

4. (2025·江苏无锡高一月考)已知幂函数$y = f(x)$的图象过点$(3, \sqrt{3})$，则函数$y = f(x) + f(2 - x)$的定义域为 (D)

A.$(-2, 2)$
B.$(0, 2)$
C.$(0, 2]$
D.$[0, 2]$

答案： 4.D 解析:设$f(x)=x^{\alpha}$，$\because$函数的图象过点$(3,\sqrt{3})$，$\therefore f(3)=3^{\alpha}=\sqrt{3}$，则$\alpha=\frac{1}{2}$，$\therefore f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，$\therefore y=f(x)+f(2-x)=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}$，$x\geq0$且$2-x\geq0$，即$0\leq x\leq2$，则函数$y=f(x)+f(2-x)$的定义域为$[0,2]$.故选D.

5. (2025·江苏南京高一月考)已知点$(a, 27)$在幂函数$f(x) = (a - 2)x^m (a, m \in \mathbf{R})$的图象上，则$a + m =$ (C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 5.C 解析:由题意$\begin{cases}a-2=1,\\a^{m}=27.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\m=3,\end{cases}$所以$a+m=6$.故选C.

6. (2025·福建福州高一期中)已知幂函数$f(x) = x^{-m^2 + 2m}$的定义域为$\mathbf{R}$，且$m \in \mathbf{Z}$，则$m$的值为 (C)

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 6.C 解析:因为幂函数的定义域为$\mathbf{R}$，故$-m^{2}+2m＞0$，解得$0＜m＜2$，又$m\in\mathbf{Z}$，所以$m=1$，检验:当$m=1$时，$-m^{2}+2m=1$，即$f(x)=x$，满足题意.故选C.

7. (2025·湖南长沙长郡中学高一期中)若函数$f(x)$是幂函数，且满足$f(8) · f(\frac{1}{2}) = 16$，则$f(4)$的值为 16.

答案： 7.16 解析:设$f(x)=x^{\alpha}$，由$f(8)· f(\frac{1}{2})=16$可得$8^{\alpha}×(\frac{1}{2})^{\alpha}=4^{\alpha}=16$，$\alpha=2$.故$f(x)=x^{2}$，则$f(4)=16$.故答案为16.

8. * 下列图象中，最符合函数$y = x^{\frac{5}{4}}$的图象的是 (A)

答案： 8.A 解析:由$y=x^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{x^{5}}$，函数的定义域为$[0,+\infty)$，排除B，C，因为$\frac{5}{4}＞1$，所以函数$y=x^{\frac{5}{4}}$的图象呈现下凸的趋势，排除D.故选A.

9. (多选)(2025·湖南长沙高一期中)已知$a \in \{-2, -1, 1, 2, 3\}$，则函数$f(x) = ax^a$的大致图象可能为 (ABC)

答案： 9.ABC 解析:当$a=3$时，$f(x)=3x^{3}$，在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(-x)=-3x^{3}=-f(x)$，所以$f(x)=3x^{3}$的图象关于原点对称，故B正确;当$a=2$时，$f(x)=2x^{2}$，在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(-x)=2x^{2}=f(x)$，所以$f(x)=2x^{2}$图象关于$y$轴对称，故A正确;当$a=1$时，$f(x)=x$，在$\mathbf{R}$上单调递增，故D错误;当$a=-1$时，$f(x)=-\frac{1}{x}$，在$(0,+\infty)$上单调递增，$f(x)＜0$，且$f(-x)=\frac{1}{x}=-f(x)$，所以图象关于原点对称，与C不符合;当$a=-2$时，$f(x)=-\frac{2}{x^{2}}$，在$(0,+\infty)$上单调递增，$f(x)＜0$，且$f(-x)=-\frac{2}{x^{2}}=f(x)$，所以图象关于$y$轴对称，故C正确.故选ABC.

10. (2025·山东枣庄高一月考)已知幂函数$f(x) = (m^2 + m - 1)x^m$的图象与坐标轴没有公共点，则$f(\sqrt{2}) =$ (A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$2\sqrt{2}$

答案： 10.A 解析:令$m^{2}+m-1=1$，解得$m=-2$或$m=1$，若$m=-2$，则$f(x)=x^{-2}$，与坐标轴没有公共点，满足要求，若$m=1$，则$f(x)=x$，与坐标轴有公共点，交点为原点，不符合要求，故$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{-2}=\frac{1}{2}$.故选A.
重难点拨
对于幂函数$y=x^{\alpha}$，当$\alpha＞0$时经过定点$(0,0)$，当$\alpha\leq0$时在$x=0$处没有定义，即与坐标轴没有交点.