《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

18. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (17分)(2025·江苏苏州高一月考)已知$p$:$1\leqslant x\leqslant 7$,$q$:$2m\leqslant x\leqslant m+3$.
(1)是否存在$m$,使得$p$是$q$的充要条件?若存在,求出$m$的值;若不存在,请说明理由.
(2)从下面三个条件中任选一个,求$m$的取值范围.
①$p$是$q$的必要条件;②$q$是$p$的充分条件;③$\neg p$是$\neg q$的充分条件.
选.

答案： 18.解:
(1)不存在.理由:若$p$是$q$的充要条件，则$\begin{cases}2m = 1\\m + 3 = 7\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2}\\m = 4\end{cases}$，此时方程组无解，即不存在$m$，使$p$是$q$的充要条件.
(2)设命题$p$对应的集合为$A = [1,7]$，命题$q$对应的集合为$B = [2m,m + 3]$.若选①，$p$是$q$的必要条件，则$B \subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$2m＞m + 3$，即$m＞3$；当$B \neq \varnothing$时，$m \leq 3$且$\begin{cases}2m \geq 1\\m + 3 \leq 7\end{cases}$，解得$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$.综上所述，$m \in [\frac{1}{2},+\infty)$.若选②，$q$是$p$的充分条件，则$B \subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$2m＞m + 3$，即$m＞3$；当$B \neq \varnothing$时，$m \leq 3$且$\begin{cases}2m \geq 1\\m + 3 \leq 7\end{cases}$，解得$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$.综上所述，$m \in [\frac{1}{2},+\infty)$.若选③，$\neg p$是$\neg q$的充分条件，则$\complement_{\mathbf{R}}A \subseteq \complement_{\mathbf{R}}B$，所以$B \subseteq A$.当$B = \varnothing$时，$2m＞m + 3$，即$m＞3$；当$B \neq \varnothing$时，$m \leq 3$且$\begin{cases}2m \geq 1\\m + 3 \leq 7\end{cases}$，解得$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$.综上所述，$m \in [\frac{1}{2},+\infty)$.

19. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (17分)(2025·江苏南通高一月考)请选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填入下面空格处,并完成第二问的证明.
(1)$xy=0$是$x^{2}+y^{2}=0$的必要不充分条件.
(2)已知$ab\neq 0$,证明:$a+b=1$成立的充要条件是$a^{3}+b^{3}+ab-a^{2}-b^{2}=0$.

答案： 19.解:
(1)必要不充分解析:当$xy = 0$时，$x = 0$或$y = 0$，此时$x^{2}+y^{2}=0$不一定成立，如$x = 0$，$y = 1$满足$xy = 0$，而不满足$x^{2}+y^{2}=0$；当$x^{2}+y^{2}=0$时，可得$x = 0$且$y = 0$，所以$xy = 0$，所以$xy = 0$是$x^{2}+y^{2}=0$的必要不充分条件.
(2)充要先证必要性：$\because a + b = 1$，$\therefore b = 1 - a$，$\therefore a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=a^{3}+(1 - a)^{3}+a(1 - a)-a^{2}-(1 - a)^{2}=a^{3}+1 - 3a + 3a^{2}-a^{3}+a - a^{2}-1 + 2a - a^{2}=0$.再证充分性：$\because a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=0$，$\therefore (a + b)(a^{2}-ab + b^{2})-(a^{2}-ab + b^{2})=0$，即$(a^{2}-ab + b^{2})·(a + b - 1)=0$.$\because ab \neq 0$，$a^{2}-ab + b^{2}=(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2}＞0$，$\therefore a + b - 1 = 0$，即$a + b = 1$.综上所述，$a + b = 1$成立的充要条件是$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=0$.