《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (2025·浙江杭州高一月考)已知集合$ A=\{x\mid -1\lt x\lt 4\} $,$ B=\{x\mid a - 1\leqslant x\leqslant a + 2\} $,若集合$ A\cap B $中恰好只有两个整数,则实数$ a $的取值范围是 (A)

A.$ -1\leqslant a\lt 0 $或$ 2\lt a\leqslant 3 $
B.$ -1\lt a\lt 0 $或$ 2\lt a\lt 3 $
C.$ -2\lt a\leqslant -1 $或$ 3\leqslant a\lt 4 $
D.$ -2\lt a\lt -1 $或$ 3\lt a\lt 4 $

答案： 1.A 解析：若集合$A\cap B$中的两个整数是2,3，则$\begin{cases}a + 2\geq3,\\1\lt a - 1\leq2,\end{cases}$解得$2\lt a\leq3$；若集合$A\cap B$中的两个整数是0,1，则$\begin{cases}1\leq a + 2\lt2,\\a - 1\leq0,\end{cases}$解得$-1\leq a\lt0$。综上可得实数$a$的取值范围是$-1\leq a\lt0$或$2\lt a\leq3$。故选A。

2. * (2025·江苏扬州高一月考)已知集合$ A=\{x\mid x^2 - px - 2 = 0\} $,$ B=\{x\mid x^2 + qx + r = 0\} $,且$ A\cup B = \{-2,1,5\} $,$ A\cap B = \{-2\} $,则$ p + q + r = $ -14.

答案： 2.-14 解析：因为$A\cap B = \{ - 2\}$，所以$-2\in A$，将$x = - 2$代入$x^{2}-px - 2 = 0$，得$p = - 1$，此时方程$x^{2}-px - 2 = 0$即为$x^{2}+x - 2 = 0$，有两个不等实根1，-2，所以$A = \{ 1,-2\}$。因为$A\cup B = \{ - 2,1,5\}$，$A\cap B = \{ - 2\}$，所以$B = \{ - 2,5\}$，所以$q = -[(-2)+5]=-3$，$r = (-2)×5 = - 10$，所以$p + q + r = - 14$。故答案为-14。

3. * (2025·江苏苏州高一月考)设非空集合$ S = \{x\mid m\leqslant x\leqslant l\} $,当$ x\in S $时,有$ x^2\in S $,若$ m = 1 $,则$ S = $ $\{ 1\}$;若$ l = \dfrac{1}{2} $,则$ m $的取值范围是 $-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq m\leq0$.

答案： 3.$\{ 1\}-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq m\leq0$ 解析：若$m = 1$，则$1\leq x\leq l\Rightarrow1\leq x^{2}\leq l^{2}$，根据当$x\in S$时，有$x^{2}\in S$，可得$\begin{cases}l\geq1,\\l^{2}\leq l,\end{cases}$得$\begin{cases}l\geq1,\\0\leq l\leq1,\end{cases}$故$l = 1$；若$l = \frac{1}{2}$，则$S = \{ x\mid m\leq x\leq\frac{1}{2}\}$，显然有$m\leq\frac{1}{2}$，根据$x\in S$时，有$x^{2}\in S$，取$x = m$，则$m^{2}\in S$，即$m\leq m^{2}\leq\frac{1}{2}$，由$m^{2}\leq\frac{1}{2}$，得$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq m\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$，当$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq m\leq0$时，$m\leq0\leq m^{2}$，符合题意；当$0\lt m\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$m^{2}\lt m$，与题意不符，舍去，综上，$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq m\leq0$。故答案为$\{ 1\}$；$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq m\leq0$。

4. * (2025·天津滨海新区高一月考)已知集合$ A = \{x\mid ax^2 + 6x + 3 = 0\} $,$ B = \{x\mid bx + 1 = 0\} $.
(1)若$ A\subseteq \varnothing $,求实数$ a $的取值集合;
(2)若$ A $的子集有两个,求实数$ a $的取值集合;
(3)若$ 1\in A $且$ B\subseteq A $,求实数$ b $的取值集合.

答案： 4.解：
(1)因为$A\subseteq\varnothing$，所以$A = \varnothing$，当$a = 0$时，则$A = \{-\frac{1}{2}\}$，与题意矛盾；当$a\neq0$时，则$\Delta = 36 - 12a\lt0$，解得$a\gt3$，综上所述，实数$a$的取值集合为$\{ a\mid a\gt3\}$。
(2)因为$A$的子集有两个，所以集合$A$中只有一个元素，当$a = 0$时，$A = \{-\frac{1}{2}\}$，符合题意；当$a\neq0$时，则$\Delta = 36 - 12a = 0$，解得$a = 3$，综上所述，实数$a$的取值集合为$\{ 0,3\}$。
(3)因为$1\in A$，所以$a + 6 + 3 = 0$，解得$a = - 9$，所以$A = \{ x\mid - 9x^{2}+6x + 3 = 0\} = \{-\frac{1}{3},1\}$，当$b = 0$时，$B = \varnothing\subseteq A$；当$b\neq0$时，$B = \{-\frac{1}{b}\}$，因为$B\subseteq A$，所以$-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{b}=1$，解得$b = 3$或$b = - 1$，综上所述，实数$b$的取值集合为$\{ 0,-1,3\}$。

5. * (2025·河南信阳高一期中)已知集合$ A = \{x\mid -3\leqslant x\leqslant 7\} $,$ B = \{x\mid t + 1\leqslant x\leqslant 2t - 2\} $.
(1)在①$ \complement_{\mathrm{R}}A\subseteq \complement_{\mathrm{R}}B $,②$ A\cup B = A $,③$ A\cap B = B $三个条件中任选一个,作为下面问题的条件,并解答.问题:当集合$ A $,$ B $满足 ①（或②或③）时,求实数$ t $的取值范围.
(2)若$ A\cap B = \varnothing $,求实数$ t $的取值范围.

答案： 5.解：
(1)选择①，由$\complement_{R}A\subseteq\complement_{R}B$可得$B\subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$t + 1\gt2t - 2$，解得$t\lt3$；当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}t + 1\geq - 3,\\2t - 2\leq7,\\t + 1\leq2t - 2,\end{cases}$解得$3\leq t\leq\frac{9}{2}$。综上，实数$t$的取值范围为$(-\infty,\frac{9}{2}]$。
选择②，由$A\cup B = A$可得$B\subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$t + 1\gt2t - 2$，解得$t\lt3$；当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}t + 1\geq - 3,\\2t - 2\leq7,\\t + 1\leq2t - 2,\end{cases}$解得$3\leq t\leq\frac{9}{2}$。综上，实数$t$的取值范围为$(-\infty,\frac{9}{2}]$。
选择③，由$A\cap B = B$可得$B\subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$t + 1\gt2t - 2$，解得$t\lt3$；当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}t + 1\geq - 3,\\2t - 2\leq7,\\t + 1\leq2t - 2,\end{cases}$解得$3\leq t\leq\frac{9}{2}$。综上，实数$t$的取值范围为$(-\infty,\frac{9}{2}]$。
(2)当$B = \varnothing$时，$t + 1\gt2t - 2$，解得$t\lt3$，符合题意；当$B\neq\varnothing$时，$\begin{cases}2t - 2\lt - 3,\\t + 1\gt7,\end{cases}$或$\begin{cases}t + 1\leq2t - 2,\\t + 1\leq2t - 2,\end{cases}$解得$t\gt6$。综上，实数$t$的取值范围为$(-\infty,3)\cup(6,+\infty)$。

6. * (2025·河北衡水中学高一月考)已知集合$ A = \{(x,y)\mid y = x^2 + 2x\} $,$ B = \{(x,y)\mid y = ax + 4\} $,$ C = \{(x,y)\mid y = -2x + a\} $.
(1)若$ B\cap C = \{(b,3)\} $,求实数$ a $,$ b $的值;
(2)若$ A\cap C\neq \varnothing $且$ B\cap C\neq \varnothing $,求实数$ a $的取值范围.

答案： 6.解：
(1)由题意得，点$(b,3)$在直线$y = ax + 4$和$y = - 2x + a$上，所以$\begin{cases}ab + 4 = 3,\\-2b + a = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = - 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1,\\b = - \frac{1}{2}.\end{cases}$
(2)由$A\cap C\neq\varnothing$可知，方程组$\begin{cases}y = - 2x + a,\\y = x^{2}+2x,\end{cases}$即方程$x^{2}+4x - a = 0$有实数根，所以$\Delta = 16 + 4a\geq0$，解得$a\geq - 4$。由$B\cap C\neq\varnothing$可知，方程组$\begin{cases}y = ax + 4,\\y = - 2x + a,\end{cases}$即方程$(a + 2)x = a - 4$有实数根，所以$a\neq - 2$，综上，实数$a$的取值范围是$\{ a\mid - 4\leq a\lt - 2$或$a\gt - 2\}$。