《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. (2025·江苏南通高一月考)下列结论错误的是(ABD)

A.任何一个集合至少有两个子集
B.空集是任何集合的真子集
C.若$ a\in A $且$ A\subseteq B $,则$ a\in B $
D.若$ A\subseteq B $且$ A\subseteq C $,则$ B = C $

答案： 9.ABD 解析：空集只有一个子集，故A错；空集是任何非空集合的真子集，故B错；因为$A\subseteq B$，所以集合$A$中所有元素都属于集合$B$，则$a\in B$，故C正确；例如$A=\{1\}$，$B=\{1,2\}$，$C=\{1,3\}$，满足$A\subseteq B$且$A\subseteq C$，此时$B\neq C$，故D错.故选ABD.

10. (2025·江苏泰州中学高一月考)已知集合$ A,B,C $是全集为$ U $的非空真子集,且满足:$ A\cap B = A $,$ A\cup C = A $,则下列选项正确的是(ABD)

A.$ C\subseteq B $
B.$ A\cap(\complement_{U}B)=\varnothing $
C.$ C\subseteq(\complement_{U}A) $
D.$ (\complement_{U}A)\cup B = U $

答案：
10.ABD 解析：因为$A\cap B=A$，$A\cup C=A$，所以$A\subseteq B$，$C\subseteq A$，所以$C\subseteq A\subseteq B$，用Venn图表示如图，

由图可知，$C\subseteq B$，故A正确；$A\cap(\complement_{U}B)=\varnothing$，故B正确；$C\cap(\complement_{U}A)=\varnothing$，故C错误；$(\complement_{U}A)\cup B=U$，故D正确.故选ABD.

11. (2025·江苏常州高一月考)设$ U $是一个非空集合,$ F $是$ U $的子集构成的集合,如果$ F $同时满足:①$ \varnothing\in F $,②若$ A,B\in F $,则$ A\cap(\complement_{U}B)\in F $且$ A\cup B\in F $,那么称$ F $是$ U $的一个环.则下列说法正确的是(ABC)

A.若$ U = \{ 1,2,3,4,5,6\} $,则$ F = \{ \varnothing,\{ 1,3,5\},\{ 2,4,6\},U\} $是$ U $的环
B.若$ U = \{ a,b,c\} $,则存在$ U $的一个环$ F $,$ F $含有8个元素
C.若$ U = \mathbf{Z} $,则存在$ U $的一个环$ F $,$ F $含有4个元素且$ \{ 2\},\{ 3,5\} \in F $
D.若$ U = \mathbf{R} $,则存在$ U $的一个环$ F $,$ F $含有7个元素且$ [0,3],[3,5] \in F $

答案： 11.ABC 解析：由题意知，①$\varnothing\in F$，②若$A$，$B\in F$，则$A\cap(\complement_{U}B)\in F$且$A\cup B\in F$，对于A，全集$U=\{1,2,3,4,5,6\}$且$F=\{\varnothing,\{1,3,5\},\{2,4,6\},U\}$，满足$\varnothing\in F$且当$A$，$B\in F$时，可得$A\cap(\complement_{U}B)\in F$且$A\cup B\in F$，所以A正确；对于B，由$U$的子集组成的集合为$\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$，共$8$个元素，若$F$是$U$的子集组成的集合，所以集合$F$有$8$个元素，所以B正确；对于C，若$\{2\}\in F$，$\{3,5\}\in F$，可得$\{2\}\cup\{3,5\}=\{2,3,5\}\in F$，所以$\{2\}\cup\{3,5\}=\{2,3,5\}\in F=\{\varnothing,\{2\},\{3,5\},\{2,3,5\}\}$是个环，其中$F$中含有$4$个元素，所以C正确；对于D，若$[0,3]\in F$，$[3,5]\in F$，可得$[0,3]\cap\complement_{\mathrm{R}}[3,5]=[0,3)\in F$，$[3,5]\cap\complement_{\mathrm{R}}[0,3]=(3,5]\in F$，$[3,5]\cup[0,3]=[0,5]\in F$，$[0,3]\cap\complement_{\mathrm{R}}[0,3)=\{3\}\in F$，$[0,5]\cap\complement_{\mathrm{R}}\{3\}=[0,3)\cup(3,5]\in F$，且$\varnothing\in F$，所以集合$F$中至少有$8$个元素，所以D错误.故选ABC.

12. (2025·江苏苏州高一月考)若集合$ A = \{ - 1,1\} $,$ B = \{ x|mx = 2\} $,且$ B\subseteq A $,则实数$ m $的值是$\pm2$或$0$.

答案： 12.$\pm2$或$0$ 解析：当$B=\varnothing$时，$m=0$，符合题意；当$B=\{-1\}$时，$m=-2$；当$B=\{1\}$时，$m=2$.综上，$m$的值为$\pm2$或$0$.故答案为$\pm2$或$0$.

13. (2025·江苏无锡高一月考)已知集合$ \{ a,b,c\} = \{ 0,1,2\} $,有下列三个关系:①$ a\neq2 $;②$ b = 2 $;③$ c\neq0 $,若三个关系中有且只有一个正确的,则$ a + 2b + 3c = $5$ $.

答案： 13.5 解析：若①正确，②③错误，则$c=0$，$b=1$，$a=2$，矛盾，不成立；若②正确，①③错误，则$b=2$，$c=0$，$a=1$，矛盾，不成立；若③正确，①②错误，则$a=2$，$c=1$，$b=0$，成立，$a+2b+3c=5$.综上所述，$a+2b+3c=5$.故答案为$5$.

14. (2025·江苏徐州高一期中)设集合$ A = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} $的所有非空子集为$ A_{1},A_{2},A_{3},·s,A_{n} $,其中$ n\in \mathbf{N}^{*} $.设$ A_{k}(k\in \mathbf{N}^{*},k\leqslant n) $中所有元素之和为$ m_{k} $,则$ m_{1} + m_{2} + m_{3} + ·s + m_{n} = $4608$ $.

答案： 14.4608 解析：集合$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$中的每一个元素出现在非空子集中的次数为$2^{8 - 1}=2^{7}$（次），所以$m_{1}+m_{2}+m_{3}+·s+m_{n}=2^{7}(1+2+3+·s+8)=4608$.故答案为$4608$.

15. (13分)(2025·江苏无锡天一中学高一期中)已知集合$ U = \{ x|1\lt x\lt7\} $,$ A = \{ x|2\leqslant x\leqslant5\} $,$ B = \{ x|4\leqslant x\lt7\} $.求:
(1)$ A\cap B $;
(2)$ A\cup B $;
(3)$ (\complement_{U}A)\cup B $.

答案： 15.解：
(1)由交集的运算性质得$A\cap B=\{x\mid4\leqslant x\leqslant5\}$.
(2)由并集的运算性质得$A\cup B=\{x\mid2\leqslant x＜7\}$.
(3)由题意，$\complement_{U}A=\{x\mid1＜x＜2$或$5＜x＜7\}$，即$(\complement_{U}A)\cup B=\{x\mid1＜x＜2$或$4\leqslant x＜7\}$.