《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * 已知简谐运动$ f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}x + \varphi\right) $($ |\varphi| ＜ \frac{\pi}{2} $)的图象经过点$ (0, 1) $，则该简谐运动的最小正周期$ T $和初相$ \varphi $分别为 (A)

A.$ T = 6 $，$ \varphi = \frac{\pi}{6} $
B.$ T = 6 $，$ \varphi = \frac{\pi}{3} $
C.$ T = 6\pi $，$ \varphi = \frac{\pi}{6} $
D.$ T = 6\pi $，$ \varphi = \frac{\pi}{3} $

答案： 1.A解析:由已知函数的图象经过点(0,1)，则$2\sin \varphi=1$，$\because|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，$\therefore\varphi=\frac{\pi}{6}$，而最小正周期$T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}}=6$。故选A。

2. (多选)已知一正弦电流$ I $(单位：A)随时间$ t $(单位：s)变化的函数$ I = A\sin(\omega t + \varphi) $($ A ＞ 0 $，$ \omega ＞ 0 $，$ |\varphi| ＜ \frac{\pi}{2} $)的部分图象如图所示，则(ABD)

A.$ A = 60 $
B.$ \omega = \frac{50\pi}{3} $
C.$ \varphi = \frac{\pi}{6} $
D.在一个周期内，电流不超过$ 30 $ A 的时长为$ \frac{2}{25} $ s

答案： 2.ABD解析:对于A，由题图可知$A = 60$，故A正确；对于B，由$\frac{T}{4}=\frac{1}{10}-\frac{7}{100}=\frac{3}{100}$，得$T=\frac{3}{25}$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{50\pi}{3}$，故B正确；对于C，由$60\sin(\frac{50\pi}{3}×\frac{1}{10}+\varphi)= - 60$，得$\frac{5\pi}{3}+\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$\varphi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$。因为$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{6}$，故C错误；对于D，由$60\sin(\frac{50\pi}{3}t-\frac{\pi}{6})\leq30$，得$\sin(\frac{50\pi}{3}t-\frac{\pi}{6})\leq\frac{1}{2}$，得$\frac{5\pi}{6}+2k\pi\leq\frac{50\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\leq\frac{13\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$\frac{3}{50}+\frac{3}{25}k\leq t\leq\frac{7}{50}+\frac{3}{25}k(k\in\mathbf{Z})$，所以在一个周期内，电流不超过30A的时长为$\frac{7}{50}-\frac{3}{50}=\frac{2}{25}(s)$，故D正确。故选ABD。

3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置$ O $的位移$ s $(单位：cm)和时间$ t $(单位：s)的函数关系式为$ s = 2\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) $，那么单摆摆动的频率为$\frac{1}{2}$，第二次到达平衡位置$ O $所需要的时间为$\frac{7}{6}$ s。

答案： 3.$\frac{1}{2}$；$\frac{7}{6}$解析:单摆摆动的频率$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}$，当$t=\frac{1}{6}s$时，$s = 0$，故第一次到达平衡位置O所需要的时间为$\frac{1}{6}s$，所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}T=\frac{7}{6}s$。故答案为$\frac{1}{2}$；$\frac{7}{6}$。

4. * 已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度$ y $(米)可看作是时间$ t $($ 0 \leq t \leq 24 $，单位：小时)的函数，记作$ y = f(t) $，经长期观测，$ y = f(t) $的曲线可近似地看成是函数$ y = A\cos\omega t + b $，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(B)

A.$ y = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{6}t + 1 $
B.$ y = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{6}t + \frac{3}{2} $
C.$ y = 2\cos\frac{\pi}{6}t + \frac{3}{2} $
D.$ y = \frac{1}{2}\cos6\pi t + \frac{3}{2} $

答案： 4.B解析:$A=\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}=\frac{2 - 1}{2}=\frac{1}{2}$，$b=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}=\frac{3}{2}$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$，故选B。

5. (多选)健康成年人的收缩压和舒张压一般为$ 120 \sim 140 $ mmHg 和$ 60 \sim 90 $ mmHg。心脏跳动时，血压在增加或减小。血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数$ 120/80 $ mmHg 为标准值。记某人的血压满足函数式$ p(t) = a + b\sin\omega t $($ \omega ＞ 0 $)，其中$ p(t) $为血压(mmHg)，$ t $为时间(min)，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是(BCD)


A.$ \omega = 80\pi $
B.收缩压为$ 120 $ mmHg
C.舒张压为$ 70 $ mmHg
D.每分钟心跳$ 80 $次

答案： 5.BCD解析:由题图知$T = 2×(\frac{1}{80}-\frac{1}{160})=\frac{1}{80}$，所以$\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{80}$，可得$\omega = 160\pi$，故选项A不正确；所以$p(t)=a + b\sin160\pi t$，由题图知$p(t)$在一个周期内最大值为120，最小值为70，所以收缩压为120mmHg，舒张压为70mmHg，故选项B、C正确；每分钟心跳数为频率$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{160\pi}{2\pi}=80$，故选项D正确。故选BCD。