《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. \* 函数$ y = x^2 - 2x - 8 $的零点是 (B)

A.2和-4
B.-2和4
C.$ (2,0) $和$ (-4,0) $
D.$ (-2,0) $和$ (4,0) $

答案： 1. B 解析:解方程 y=0,即 x² - 2x - 8 = 0,解得 x = -2 或 x = 4.因此函数 y = x² - 2x - 8 的零点是 -2 和 4.故选 B.

2. \*\* (2025·陕西西安高一月考)已知二次函数$ y = (k - 3)x^2 + 2x + 1 $有两个零点,则$ k $的取值范围是 (C)

A.$ k ＜ 4 $
B.$ k \leq 4 $
C.$ k ＜ 4 $且$ k \neq 3 $
D.$ k \leq 4 $且$ k \neq 3 $

答案： 2. C 解析:因为二次函数 y = (k - 3)x² + 2x + 1 有两个零点,所以方程 (k - 3)x² + 2x + 1 = 0 有两个不等的根,所以$\begin{cases}k - 3 \neq 0, \\ \Delta = 4 - 4(k - 3) ＞ 0,\end{cases}$解得 k ＜ 4 且 k ≠ 3.故选 C.

3. \*\* (多选)(2025·广东广州高一月考)如图,二次函数$ y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0) $的图象与$ x $轴交于两点$ (x_1,0) $,$ (2,0) $,其中$ 0 ＜ x_1 ＜ 1 $.下列结论正确的有 (AB)


A.$ abc ＜ 0 $
B.$ a + b + c ＜ 0 $
C.$ 2a - c ＜ 0 $
D.$ a - b + c ＜ 0 $

答案： 3. AB 解析:由题可知 a ＞ 0.由题图可知,抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则$-\frac{b}{2a} ＞ 0$,所以 b ＜ 0.因为二次函数 y = ax² + bx + c(a ＞ 0) 的图象与 x 轴交于两点 (x₁,0),(2,0),其中 0 ＜ x₁ ＜ 1,所以 c ＞ 0,所以 abc ＜ 0,故 A 正确;当 x = 1 时,a + b + c ＜ 0,故 B 正确;当 x = 2 时,4a + 2b + c = 0,则 2b = -4a - c,又 a + b + c ＜ 0,则 2a + 2b + 2c ＜ 0,所以 2a - c ＞ 0,故 C 错误;因为 b ＜ 0,所以 -b ＞ 0,又 a ＞ 0,c ＞ 0,所以 a - b + c ＞ 0,故 D 错误.故选 AB.

4. \*\* (2025·江苏无锡一中高一期中)若二次函数$ y = x^2 - 2mx - 5 $在区间$ (3,4) $上存在一个零点,则$ m $的取值范围是 (A)

A.$ \frac{2}{3} ＜ m ＜ \frac{11}{8} $
B.$ m ＜ \frac{11}{8} $
C.$ m ＞ \frac{2}{3} $
D.$ m ＜ \frac{2}{3} $或$ m ＞ \frac{11}{8} $

答案： 4. A 解析:由题意可得方程 x² - 2mx - 5 = 0 在 (3,4) 上存在一个根,Δ = 4m² + 20 ＞ 0,函数 y = x² - 2mx - 5 的对称轴为直线 x =$-\frac{-2m}{2×1} = m$,当 m ≤$\frac{7}{2}$时,$\begin{cases}3² - 2m×3 - 5 ＜ 0, \\ 4² - 2m×4 - 5 ＞ 0,\end{cases}$可得$\begin{cases}6m - 4 ＞ 0, \\ 8m - 11 ＜ 0,\end{cases}$解得$\frac{2}{3} ＜ m ＜ \frac{11}{8}$;当 m ＞$\frac{7}{2}$时,$\begin{cases}3² - 2m×3 - 5 ＞ 0, \\ 4² - 2m×4 - 5 ＜ 0,\end{cases}$可得$\begin{cases}6m - 4 ＜ 0, \\ 8m - 11 ＞ 0,\end{cases}$显然无解.综上所述,$\frac{2}{3} ＜ m ＜ \frac{11}{8}$.故选 A.

5. \*\* (2025·江苏南通高一月考)已知函数$ y = x^2 - 4x + m $,若该函数的两个零点都在区间$ [1, +\infty) $上,则实数$ m $的取值范围是 [3,4).

答案： 5. [3,4) 解析:因为函数 y = x² - 4x + m 的两个零点都在区间 [1,+∞) 上,所以$\begin{cases}\Delta ＞ 0, \\ 1 - 4 + m \geq 0,\end{cases}$即$\begin{cases}(-4)² - 4m ＞ 0, \\ -3 + m \geq 0, \\ 4 - 8 + m ＜ 0,\end{cases}$解得 3 ≤ m ＜ 4,故实数 m 的取值范围是 [3,4).故答案为 [3,4).

6. \*\* 已知二次函数$ y = x^2 + (2t - 1)x + 1 - 2t $.
(1)求证:将函数$ y = x^2 + (2t - 1)x + 1 - 2t $向下平移一个单位长度之后得到的函数必然存在零点;
(2)若函数$ y = x^2 + (2t - 1)x + 1 - 2t $在区间$ (-1,0) $和$ (0,\frac{1}{2}) $内各有一个零点,求实数$ t $的取值范围.

答案： 6.
(1) 证明:将函数 y = x² + (2t - 1)x + 1 - 2t 向下平移一个单位长度之后得到的函数为 y = x² + (2t - 1)x - 2t,函数 y = x² + (2t - 1)x - 2t 必有零点,即 x² + (2t - 1)x - 2t = 0 必有实根,因为 Δ = (2t - 1)² + 8t = 4t² + 4t + 1 = (2t + 1)² ≥ 0,所以函数 y = x² + (2t - 1)x - 2t 必有零点.
(2) 解:因为函数 y = x² + (2t - 1)x + 1 - 2t 在区间 (-1,0) 和 (0,$\frac{1}{2}$) 内各有一个零点,且开口向上,所以函数 y = x² + (2t - 1)x + 1 - 2t 在 x = -1 和 x =$\frac{1}{2}$处的函数值大于 0,在 x = 0 处的函数值小于 0,即$\begin{cases}1 - (2t - 1) + 1 - 2t ＞ 0, \\ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}(2t - 1) + 1 - 2t ＞ 0, \\ 1 - 2t ＜ 0,\end{cases}$解得$\frac{1}{2} ＜ t ＜ \frac{3}{4}$.所以实数 t 的取值范围是 ($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$).

7. \* (2025·山东枣庄高一月考)一元二次方程$ x^2 + bx - 2 = 0 $中,若$ b ＜ 0 $,则这个方程根的情况是 (B)

A.有两个正根
B.有一正根一负根且正根的绝对值大
C.有两个负根
D.有一正根一负根且负根的绝对值大

答案：
7. B 解析:记二次函数 y = x² + bx - 2,开口向上,由 b ＜ 0 得对称轴直线 x =$-\frac{b}{2} ＞ 0$,且经过点 (0,-2),作出二次函数图象示意图如下:

由图象可知,二次函数的两个零点一正一负,且正数零点的绝对值大于负数零点的绝对值,所以方程的两个根为一正一负,正数根的绝对值大于负数根的绝对值,B 正确.故选 B.

8. \*\* (多选)一元二次方程$ ax^2 - 2x + 1 = 0(a \neq 0) $有两个正根的必要不充分条件是 (BC)

A.$ a ＜ 0 $
B.$ a ＞ 0 $
C.$ a \leq 1 $
D.$ a = 1 $

答案：
8. BC 解析:因为一元二次方程 ax² - 2x + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个正根,即二次函数 y = ax² - 2x + 1(a ≠ 0) 的零点大于 0,且过点 (0,1),当 a ＞ 0 时,抛物线开口向上,且过点 (0,1),其图象示意图如图①所示:

由图象可知,对称轴在 y 轴右侧,且 Δ ≥ 0,即$\begin{cases}\frac{1}{a} ＞ 0, \\ \Delta = 4 - 4a \geq 0,\end{cases}$解得 0 ＜ a ≤ 1;当 a ＜ 0 时,抛物线开口向下,且过点 (0,1),其图象示意图如图②所示:

由图象可知,此时函数有一正一负两个零点,与题意不符,舍去,所以 a 的取值范围为 0 ＜ a ≤ 1,结合选项与必要不充分条件的概念可知选 BC.故选 BC.

9. \*\* (2025·江苏常州高一期中)已知方程$ x^2 + (2k - 3)x + k^2 - 2k + 2 = 0 $,且方程有两个大于1的实数根,则实数$ k $的取值范围为 {k|k ≤$\frac{1}{4}$且 k ≠ 0}.

答案：
9. {k|k ≤$\frac{1}{4}$且 k ≠ 0} 解析:方程 x² + (2k - 3)x + k² - 2k + 2 = 0 有两个大于 1 的实数根,即二次函数 y = x² + (2k - 3)x + k² - 2k + 2 的零点均大于 0,作出示意图如下:

由图象可知二次函数的对称轴直线 x =$-\frac{2k - 3}{2} ＞ 1$,且满足 x = 1 时的函数值大于 0,即$\begin{cases}\Delta = (2k - 3)² - 4(k² - 2k + 2) \geq 0, \\ -\frac{2k - 3}{2} ＞ 1, \\ 1 + 2k - 3 + k² - 2k + 2 ＞ 0,\end{cases}$解得 k ≤$\frac{1}{4}$且 k ≠ 0.故答案为 {k|k ≤$\frac{1}{4}$且 k ≠ 0}.