《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (多选)(2025·江西景德镇高一期中)下列说法正确的有 (CD)

A.某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B.集合$A = \{x\mid y = x^{2}+1\}$与集合$B = \{(x,y)\mid y = x^{2}+1\}$是相同的集合
C.由$1,\frac{3}{2},\frac{5}{4},\vert -\frac{1}{2}\vert,0.5$这些数组成的集合有4个元素
D.在平面直角坐标系中,第二象限或第四象限内所有的点$(x,y)$组成的点集,可以表示成集合$\{(x,y)\mid xy ＜ 0,x,y\in\mathbf{R}\}$

答案： 1 CD 解析：对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误；对于选项B，其中集合$A=\{x\vert y = x^{2}+1\}$是数集，集合$B=\{(x,y)\vert y = x^{2}+1\}$是点集，所以集合$A=\{x\vert y = x^{2}+1\}$与集合$B=\{(x,y)\vert y = x^{2}+1\}$不是同一集合，故选项B错误；对于选项C，因为$-\frac{1}{2}=0.5$，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以集合C正确；对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即$xy＜0$，所以第二象限或第四象限内所有的点$(x,y)$组成的点集，可以表示成集合$\{(x,y)\vert xy＜0,x,y\in\mathbf{R}\}$.故选项D正确.故选CD.

2. (2025·江苏苏州高一月考)若$m\in\{1,3,4,m^{2}\}$,则$m$可能取值的集合为(B)

A.$\{0,1,4\}$
B.$\{0,3,4\}$
C.$\{-1,0,3,4\}$
D.$\{0,1,3,4\}$

答案： 2 B 解析：由$\vert1,3,4,m^{2}\vert$，得$m^{2}\neq1$，则$m\neq\pm1$，由$m\in\{1,3,4,m^{2}\}$，得$m = 3$，此时$m^{2}=9$，符合题意；或$m = 4$，此时$m^{2}=16$，符合题意；或$m = m^{2}$，则$m = 0$或$m = 1$(舍去)，此时$m^{2}=0$，符合题意，所以$m$可能取值的集合为$\{0,3,4\}$.故选B.

3. * (2025·江苏扬州高一月考)已知$a\in\mathbf{R}$,$b\in\mathbf{R}$,若集合$\{a,\frac{b}{a},1\}=\{a^{2},a - b,0\}$,则$a^{2024}+b^{2024}$的值为 (C)

A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 3 C 解析：根据题意知$a\neq0$，故$\frac{b}{a}=0$，则$b = 0$，故$\{a,0,1\}=\{a^{2},a,0\}$，则$a^{2}=1$，即$a=\pm1$，当$a = 1$时，与集合的互异性相矛盾，舍去；当$a=-1$，$b = 0$时，$\{-1,0,1\}=\{1,-1,0\}$，符合题意，所以$a^{2024}+b^{2024}=1$.故选C.

4. * (2025·河北衡水高一月考)已知$a\in\mathbf{Z}$,$A = \{(x,y)\mid ax - y\leqslant3\}$,且$(2,1)\in A$,$(1,-4)\notin A$,则$a$取值不可能为 (A)

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 4 A 解析：选项A：当$a=-1$时，$-1×2 - 1＜3$，$-1×1-(-4)=3$，故$(2,1)\in A$，$(1,-4)\in A$，A错误；当$a = 0$时，$0×2-1＜3$，$0×1-(-4)＞3$，故$(2,1)\in A$，$(1,-4)\notin A$，B正确；选项C：当$a = 1$时，$1×2 - 1＜3$，$1×1-(-4)＞3$，故$(2,1)\in A$，$(1,-4)\notin A$，C正确；选项D：当$a = 2$时，$2×2 - 1=3$，$2×1-(-4)＞3$，故$(2,1)\in A$，$(1,-4)\notin A$，D正确.故选A.

5. 关于方程组$\begin{cases}y = kx + 1\\y = 2kx + 3\end{cases}$的解集$T$说法正确的是 ( )

A.$T$一定为单元素集
B.$T$一定为空集
C.$T$为空集当且仅当$k = 0$
D.$T$可能有无穷多个元素

答案： 5 C 解析：由题意可知$kx + 1 = 2kx + 3$，即$kx=-2$，当$k = 0$时，$0=-2$不成立，方程组无解，当$k\neq0$时，$x=-\frac{2}{k}$，方程组有唯一解.故选C.

6. * 设$x,y\in\mathbf{R}$,用列举法表示$\frac{\vert x\vert}{x}+\frac{\vert y\vert}{y}$所有可能取值组成的集合,结果是$\{2,0,-2\}$.

答案： 6$\{2,0,-2\}$ 解析：根据$x,y$的符号，分情况去绝对值：若$x＞0,y＞0$，$\frac{\vert x\vert}{x}+\frac{\vert y\vert}{y}=1 + 1 = 2$；若$x＞0,y＜0$，$\frac{\vert x\vert}{x}+\frac{\vert y\vert}{y}=1+(-1)=0$；若$x＜0,y＞0$，$\frac{\vert x\vert}{x}+\frac{\vert y\vert}{y}=(-1)+1 = 0$；若$x＜0,y＜0$，$\frac{\vert x\vert}{x}+\frac{\vert y\vert}{y}=(-1)+(-1)=-2$.$\frac{\vert x\vert}{x}+\frac{\vert y\vert}{y}$所有可能取值组成的集合为$\{2,0,-2\}$.故答案为$\{2,0,-2\}$.

7. * (2025·江苏无锡高一月考)若非空集合$M = \{x\mid x^{2}-2x + m = 0,x\in\mathbf{R}\}$不是单元素集,则其中所有元素之和$S =$2.

答案： 7.2 解析：由题意可知，集合$M$有两个元素，设为$x_{1},x_{2}$，即$M=\{x_{1},x_{2}\}$，则方程$x^{2}-2x + m = 0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=2$，所以$S=x_{1}+x_{2}=2$.故答案为2.

8. 已知$A = \{x\mid x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}$,$B = \{x\mid x = 3k + 1,k\in\mathbf{Z}\}$.
(1)判断3,5是否在集合$A$中,并说明理由;
(2)判断$6m - 2(m\in\mathbf{Z})$是否属于集合$B$,并说明理由;
(3)若$a\in A$,$b\in B$,判断$a + b$是否属于集合$B$,并说明理由.

答案： 8. 解：
(1)$\because3 = 3×1$，$\therefore3$在集合$A$中，令$3k = 5$，则$k=\frac{5}{3}\notin\mathbf{Z}$，故5不在集合$A$中.
(2)$6m - 2 = 3(2m - 1)+1$，且$2m - 1\in\mathbf{Z}$，故$6m - 2(m\in\mathbf{Z})$在集合$B$中.
(3)设$a = 3p,p\in\mathbf{Z},b = 3q + 1,q\in\mathbf{Z}$，则$a + b = 3(p + q)+1,p + q\in\mathbf{Z}$，所以$a + b$属于集合$B$.

* 已知由实数组成的集合$A$,$1\notin A$,又满足:若$x\in A$,则$\frac{1}{1 - x}\in A$.
(1)$A$能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由.
(2)$A$中所含元素个数一定是$3n(n\in\mathbf{N}^{*})$个吗?若是,给出证明,若不是,说明理由.
视频讲解

答案： 解：
(1)假设$A$中仅含一个元素，不妨设为$a$，则$a\in A$，有$\frac{1}{1 - a}\in A$，又$A$中只有一个元素，$\therefore a=\frac{1}{1 - a}$，即$a^{2}-a + 1 = 0$，但此方程$\Delta＜0$，即方程无实数根，$\therefore$不存在这样的实数$a$，故$A$不可能是单元素集合.
(2)$A$中所含元素个数一定是$3n(n\in\mathbf{N}^{*})$个.证明如下：$x\in A$，则$\frac{1}{1 - x}\in A$，而$\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}}=\frac{x - 1}{x}\in A$，而$\frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}}=x$，$\because x\in\mathbf{R}$且$x\neq1$，$\therefore$当$x\neq\frac{1}{1 - x}$时，$x^{2}-x + 1 = 0$，$\Delta=1 - 4＜0$，方程$x^{2}-x + 1 = 0$无解，$\therefore x\neq\frac{x - 1}{x}$；当$\frac{1}{1 - x}\neq\frac{x - 1}{x}$时，$x^{2}-x + 1 = 0$，$\Delta=1 - 4＜0$，方程$x^{2}-x + 1 = 0$无解，$\therefore\frac{1}{1 - x}\neq\frac{x - 1}{x}$，$\therefore A$中所含元素个数一定是$3n(n\in\mathbf{N}^{*})$个.