《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏南通高一月考)下列说法正确的有 (BC)

A.命题“$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+1=0$”是真命题
B.命题“若$x＞0$,则$x^{2}＞0$”是真命题
C.“$a＞2$”是“$a＞5$”的必要不充分条件
D.设$a,b,c\in \mathbf{R}$,则“$a＞4$且$b＞4$”的充分不必要条件是“$a+b＞8$”

答案： 9.BC解析:对于A,因为$x^{2}+1 \geq 1$，所以命题“$\exists x \in \mathbf{R},x^{2}+1 = 0$”是假命题,错误;对于B,若$x ＞ 0$，则$x^{2}＞0$，所以命题“若$x ＞ 0$，则$x^{2}＞0$”是真命题,正确;对于C,$a ＞ 2$不能判断出$a ＞ 5$，$a ＞ 5$可以判断出$a ＞ 2$，所以“$a ＞ 2$”是“$a ＞ 5$”的必要不充分条件,正确;对于D,$a + b ＞ 8$不能得到$a ＞ 4$且$b ＞ 4$，但$a ＞ 4$且$b ＞ 4$ 可以得到$a + b ＞ 8$，则“$a ＞ 4$且$b ＞ 4$”的必要不充分条件是“$a + b ＞ 8$”,错误.故选BC.

10. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (2025·河北石家庄高一月考)若$M$是$N$的充分不必要条件,$N$是$P$的充要条件,$Q$是$P$的必要不充分条件,则下列说法正确的是 (AC)

A.$M$是$Q$的充分不必要条件
B.$M$是$Q$的必要不充分条件
C.$M$是$P$的充分不必要条件
D.$M$是$P$的必要不充分条件

答案： 10.AC解析:因为M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，所以M能推出N,N推不出M,N能推出P,P能推出N,Q推不出P,P能推出Q,所以M能推出Q,Q推不出M,所以M是Q的充分不必要条件,故A正确,B错误;M能推出P,P推不出M,所以M是P的充分不必要条件，故C正确，D错误.故选AC.

11. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏南通高一月考)用$[x]$表示不超过$x$的最大整数,例如$[4.6]=4$,$[-2.4]=-3$,则 (AC)

A.$\forall x\in \mathbf{R},[x-1]=[x]-1$
B.$\forall x,y\in \mathbf{R},x-y＜\frac{1}{3}$,则$[x]=[y]$
C.$\exists x\in \mathbf{R},[10x]=10[x]$
D.方程$x^{2}=4[x]+3$的解集为$\{\sqrt{15}\}$

答案： 11.AC解析:对于A,设x的整数部分为a,小数部分为b,则$[x]=[a + b]=a$，$[x - 1]=[a - 1 + b]=a - 1$，因此$[x - 1]=[x]-1$，故A正确;对于B,$x = 1$，$y = \frac{3}{4}$，满足$x - y = \frac{1}{4}＜\frac{1}{3}$，此时$[x]=1$，$[y]=0$，故B错误;对于C,当$x = 1$时,符合题意,故C正确;对于D,取$x = \sqrt{19}$，则$[x]=4$，满足方程$x^{2}=4[x]+3$成立,故D错误.故选AC.

12. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏徐州高一月考)试写出一个$x$的值:$\pi$,使“若$x\notin \mathbf{Q}$,则$x^{2}\in \mathbf{Q}$”为假命题.

答案： 12.$\pi$（答案不唯一）解析:如$x = \pi$，此时$x \notin \mathbf{Q}$，$\pi^{2} \notin \mathbf{Q}$，故原命题为假命题.故答案为$\pi$（答案不唯一）.

13. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏无锡高一月考)已知$p$:$4x-m＜0$,$q$:$1\leqslant 3-x\leqslant 4$,若$p$是$q$的一个必要不充分条件,则实数$m$的取值范围为$(8,+\infty)$.

答案： 13.$(8,+\infty)$解析:由题意得$p:x＜\frac{m}{4}$，$q:-1 \leq x \leq 2$，又$q \Rightarrow p$，故$\frac{m}{4}＞2$，得$m＞8$.故答案为$(8,+\infty)$.

14. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (2025·四川成都高一月考)有限集合$S$中元素的个数记作$\mathrm{card}(S)$,设$A,B$都为有限集合,给出下列命题:
①$A\cap B=\varnothing$的充要条件是$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)$;
②$A\subseteq B$的必要不充分条件是$\mathrm{card}(A)＜\mathrm{card}(B)+1$;
③$A\subsetneqq B$的充分不必要条件是$\mathrm{card}(A)\leqslant \mathrm{card}(B)-1$;
④$A=B$的充要条件是$\mathrm{card}(A)=\mathrm{card}(B)$.
其中,真命题有①②.(填序号)

答案： 14.①②解析:①若$A \cap B = \varnothing$，则集合A与B无重复元素,则$card(A \cup B)=card(A)+card(B)$，即$A \cap B = \varnothing$是$card(A \cup B)=card(A)+card(B)$的充分条件;若$card(A \cup B)=card(A)+card(B)$，则集合A与B无重复元素，$A \cap B = \varnothing$，即$A \cap B = \varnothing$是$card(A \cup B)=card(A)+card(B)$的必要条件,综上所述,$A \cap B = \varnothing$的充要条件是$card(A \cup B)=card(A)+card(B)$，①正确.②若$A \subseteq B$，即集合A中所有元素均属于集合B，此时$card(A) \leq card(B)$，即$card(A)＜card(B)+1$，所以$A \subseteq B$是$card(A)＜card(B)+1$的充分条件，即$card(A)＜card(B)+1$是$A \subseteq B$的必要条件;若$card(A)＜card(B)+1$，无法判断集合A中元素与集合B中元素的关系，即$card(A)＜card(B)+1$不是$A \subseteq B$的充分条件，综上所述，$A \subseteq B$的必要不充分条件是$card(A)＜card(B)+1$，②正确.③若$card(A) \leq card(B)-1$，无法判断集合A中元素与集合B中元素的关系，即$card(A) \leq card(B)-1$不是$A \subsetneqq B$的充分条件，③错误;④若$card(A)=card(B)$，无法判断集合A中元素与集合B中元素的关系，不能说明$A = B$，④错误.故答案为①②.

15. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (13分)(2025·安徽合肥高一月考)写出下列命题的否定,并判断你写出的命题的真假:
(1)$\exists n\in \mathbf{N}^{*}$,$\frac{1}{n}\in \mathbf{N}^{*}$;
(2)$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}+x+1＞0$;
(3)所有三角形的三个内角都是锐角.

答案： 15.解:
(1)命题“$\exists n \in \mathbf{N}^{*},\frac{1}{n} \in \mathbf{N}^{*}$”的否定为$\forall n \in \mathbf{N}^{*},\frac{1}{n} \notin \mathbf{N}^{*}$，为假命题;因为当$n = 1 \in \mathbf{N}^{*}$时，$\frac{1}{n}=1 \in \mathbf{N}^{*}$，即命题$\forall n \in \mathbf{N}^{*},\frac{1}{n} \notin \mathbf{N}^{*}$为假命题.
(2)命题“$\forall x \in \mathbf{R},x^{2}+x + 1＞0$”的否定为$\exists x \in \mathbf{R},x^{2}+x + 1 \leq 0$，为假命题;因为$x^{2}+x + 1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$恒成立，所以不存在$x \in \mathbf{R}$使得$x^{2}+x + 1 \leq 0$，故命题$\exists x \in \mathbf{R},x^{2}+x + 1 \leq 0$为假命题.
(3)命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题；因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题.