《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

10. * (2025·湖北武汉高一期中)已知函数$y=f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x＞0$时，$f(x)=x^{3}-2x^{2}+1$，则函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上的解析式为。

答案： 10.$f(x)=\begin{cases}x^3 - 2x^2 + 1, x ＞ 0\\0, x = 0\\x^3 + 2x^2 - 1, x ＜ 0\end{cases}$ 解析:因为函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，设$x ＜ 0$，则$-x ＞ 0$，则$f(-x)=(-x)^3 - 2(-x)^2 + 1=-x^3 - 2x^2 + 1=-f(x)$，所以$f(x)=x^3 + 2x^2 - 1$，所以$f(x)=\begin{cases}x^3 - 2x^2 + 1, x ＞ 0\\0, x = 0\\x^3 + 2x^2 - 1, x ＜ 0\end{cases}$.

11. * (2025·天津河西区高一期中)已知函数$f(x)=x^{3}+2x$，若$a＞0$，$b＞0$，且$f(2a)+f(b-1)=f(0)$，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是9；取得最小值时$a$的值为$\frac{1}{3}$。
视频讲解

答案： 11.9　$\frac{1}{3}$　解析:$f(x)=x^3 + 2x$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)= -x^3 - 2x=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数.又函数单调递增，且$f(0)=0$，所以由$f(2a)+f(b - 1)=0$，得$2a + b - 1 = 0$，即$2a + b = 1$，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})(2a + b)=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\geq5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a}·\frac{2a}{b}}=9$，当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{2a}{b}$，即$a = b = \frac{1}{3}$时等号成立，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是$9$，取得最小值时$a$的值为$\frac{1}{3}$.

12. * (2025·安徽合肥六中高一期中)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(3,+\infty)$上单调递增，则(C)

A.$f(-4)+f(5)＜0$
B.$f(-4)+f(5)＞0$
C.$f(-4)-f(5)＜0$
D.$f(-4)-f(5)＞0$
视频讲解

答案： 12.C解析:因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(3, +\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$(-\infty, -3)$上单调递减，所以$f(-4)＜f(-5)$.因为$f(x)$为偶函数，所以$f(-5)=f(5)$，则$f(-4)＜f(5)$，即$f(-4)-f(5)＜0$.故选C.

13. * (2025·江苏苏州高一期中)若定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，且$f(3)=0$，则满足$(x^{2}-9)f(x-2)\leq0$的$x$的取值范围为(A)

A.$[-3,-1]\cup[3,5]$
B.$(-\infty,-1]\cup[3,5]$
C.$[-1,0]\cup[3,5]$
D.$(-\infty,-5]\cup[1,3]$

答案： 13.A　解析:因为偶函数$f(x)$在$[0, +\infty)$上是增函数，所以函数$f(x)$在$(-\infty, 0]$上为减函数，则$f(-3)=f(3)=0$，则不等式$(x^2 - 9)· f(x - 2)\leq0$等价为当$x^2 - 9\geq0$时，$f(x - 2)\leq0$，此时$\begin{cases}x ＜ -3或x ＞ 3\\-3\leq x - 2\leq 3\end{cases}$，解得$3 ＜ x\leq 5$，当$x^2 - 9 ＜ 0$时，$f(x - 2)\geq0$，此时$\begin{cases}-3 ＜ x ＜ 3\\x - 2\geq 3或x - 2\leq -3\end{cases}$，解得$-3 ＜ x\leq -1$，当$x = \pm3$时，显然满足题意.综上，不等式的解集为$\{x\mid -3\leq x\leq -1或3\leq x\leq 5\}$，即$x$的取值范围为$[-3, -1]\cup[3, 5]$.故选A.

14. * (2025·山东枣庄高三月考)定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，且$f(-3)=0$，若不等式$f(x-m)＞0$的解集为$(-1,5)$，则实数$m=$2。

答案： 14.2解析:因为$f(x)$为偶函数，$f(3)=f(-3)=0$，$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递减，若$f(x)＞0$，则$f(\vert x\vert)＞f(3)$，所以不等式$f(x - m)＞0$可转化为$f(\vert x - m\vert)＞f(3)$，所以$\vert x - m\vert＜3$，解得$m - 3 ＜ x ＜ m + 3$，所以$m - 3 = -1$且$m + 3 = 5$，即$m = 2$.故答案为2.

15. (2025·江苏无锡天一中学高一期中)
已知函数$f(x)=\frac{ax+b}{16-x^{2}}$是定义在$(-4,4)$上的奇函数，且$f(1)=1$。
(1)求实数$a,b$的值；
(2)判断函数$f(x)$在$(-4,4)$上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)若$f(t^{2}-1)+f(1-5t)＜0$，求$t$的取值范围。

答案： 15.解:
(1)因为函数$f(x)=\frac{ax + b}{16 - x^2}$是定义在$(-4, 4)$上的奇函数，所以$f(0)=\frac{b}{16}=0$，解得$b = 0$，则$f(x)=\frac{ax}{16 - x^2}$.又因为$f(1)=1$，则$\frac{a}{16 - 1^2}=1$，解得$a = 15$，经检验$a = 15$，$b = 0$时，$f(-x)=\frac{-15x}{16 - (-x)^2}=\frac{-15x}{16 - x^2}=-f(x)$，则$f(x)=\frac{15x}{16 - x^2}$是奇函数.所以$a = 15$，$b = 0$.
(2)$f(x)=\frac{15x}{16 - x^2}$，$x\in(-4, 4)$，函数$f(x)$在$(-4, 4)$上单调递增，证明如下:
任取$x_1$，$x_2\in(-4, 4)$，$x_1 ＜ x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=\frac{15x_1}{16 - x_1^2}-\frac{15x_2}{16 - x_2^2}=\frac{15x_1(16 - x_2^2)-15x_2(16 - x_1^2)}{(16 - x_1^2)(16 - x_2^2)}=\frac{15[x_1x_2(x_1 - x_2)+16(x_1 - x_2)]}{(16 - x_1^2)(16 - x_2^2)}=\frac{15(x_1 - x_2)(x_1x_2 + 16)}{(16 - x_1^2)(16 - x_2^2)}$，因为$-4 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ 4$，所以$16 - x_1^2 ＞ 0$，$16 - x_2^2 ＞ 0$，$x_1x_2 + 16 ＞ 0$，$x_1 - x_2 ＜ 0$，则$\frac{15(x_1 - x_2)(x_1x_2 + 16)}{(16 - x_1^2)(16 - x_2^2)} ＜ 0$，所以$f(x_1)-f(x_2) ＜ 0$，即$f(x_1) ＜ f(x_2)$，故函数$f(x)$在$(-4, 4)$上单调递增.
(3)由函数$f(x)$是定义在$(-4, 4)$上的奇函数，且$f(t^2 - 1)+f(1 - 5t) ＜ 0$，则$f(t^2 - 1) ＜ -f(1 - 5t)=f(5t - 1)$，因为函数$f(x)$在$(-4, 4)$上单调递增，所以$\begin{cases}-4 ＜ t^2 - 1 ＜ 4\\-4 ＜ 5t - 1 ＜ 4\\t^2 - 1 ＜ 5t - 1\end{cases}$，解得$0 ＜ t ＜ 1$，所以$t$的取值范围是$(0, 1)$.

16. (2025·浙江台州高一期中)函数$f(x)$满足：对任意实数$x,y$，有$f(xy)=xf(y)+yf(x)$成立；函数$g(x)=\frac{f(x)}{x}(x\neq0)$，$g(2)=1$，且当$x＞1$时，$g(x)＞0$。
(1)求$f(-1)$并证明函数$f(x)$为奇函数；
(2)证明：函数$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；
(3)若关于$x$的不等式$g(x^{2}+2x+3)-g(tx)＞2$恒成立，求$t$的取值范围。

答案： 16.
(1)解:因为$f(xy)=xf(y)+yf(x)$，令$x = y = 1$，则$f(1)=f(1)+f(1)$，得$f(1)=0$；令$x = y = -1$，则$f(1)=-f(-1)-f(-1)$，得$f(-1)=0$；证明如下:$\forall x\in\mathbf{R}$，令$y = -1$，依题意得$f(-x)=x· f(-1)+(-1)· f(x)$，即$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数.
(2)证明:由$f(xy)=xf(y)+yf(x)$得$\frac{f(xy)}{xy}=\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}$，即$g(xy)=g(x)+g(y)$，$\forall x_1$，$x_2\in(0, +\infty)$，$x_1 ＜ x_2$，则$\frac{x_2}{x_1}＞1$，则$g(\frac{x_2}{x_1})＞0$可得$g(x_2)-g(x_1)=g(x_1·\frac{x_2}{x_1})-g(x_1)=g(x_1)+g(\frac{x_2}{x_1})-g(x_1)=g(\frac{x_2}{x_1})＞0$，即$g(x_2)＞g(x_1)$，所以函数$g(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增.
(3)解:因为$g(x)=\frac{f(x)}{x}(x\neq0)$，且函数$f(x)$为奇函数，则$g(-x)=\frac{f(-x)}{-x}=\frac{-f(x)}{-x}=\frac{f(x)}{x}=g(x)$，可知$g(x)$是偶函数，且$g(4)=g(2)+g(2)=2$.因为$g(x^2 + 2x + 3)-g(tx)＞2$，可得$g(x^2 + 2x + 3)＞g(4)+g(tx)=g(4tx)$.因为$g(x)$是偶函数，且$x^2 + 2x + 3=(x + 1)^2 + 2＞0$，可得$g(x^2 + 2x + 3)＞g(\vert4tx\vert)$.又因为函数$g(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，可得$x^2 + 2x + 3＞\vert4tx\vert$.因为$x\neq0$，则$\vert4t\vert＜\frac{x^2 + 2x + 3}{\vert x\vert}=\vert x\vert+\frac{3}{\vert x\vert}+\frac{2x}{\vert x\vert}$，可知$\vert4t\vert＜(\vert x\vert+\frac{3}{\vert x\vert}+\frac{2x}{\vert x\vert})_{\min}$，当$x ＞ 0$时，$\vert x\vert+\frac{3}{\vert x\vert}+\frac{2x}{\vert x\vert}=x+\frac{3}{x}+2\geq2\sqrt{x·\frac{3}{x}}+2=2\sqrt{3}+2$，当且仅当$\vert x\vert=\frac{3}{\vert x\vert}$，即$x = \sqrt{3}$时，等号成立；当$x ＜ 0$时，$\vert x\vert+\frac{3}{\vert x\vert}+\frac{2x}{\vert x\vert}=-x+\frac{3}{-x}-2\geq2\sqrt{(-x)·\frac{3}{-x}}-2=2\sqrt{3}-2$，当且仅当$\vert x\vert=\frac{3}{\vert x\vert}$，即$x = -\sqrt{3}$时，等号成立.综上所述，$(\vert x\vert+\frac{3}{\vert x\vert}+\frac{2x}{\vert x\vert})_{\min}=2\sqrt{3}-2$.可得$\vert4t\vert＜2\sqrt{3}-2$，解得$-\frac{\sqrt{3}-1}{2}＜t＜\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，且$t\neq0$，所以$t$的取值范围为$(-\frac{\sqrt{3}-1}{2},0)\cup(0,\frac{\sqrt{3}-1}{2})$.