《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

8. $\boldsymbol{★★★}$(2025·江苏南京高一月考)若函数$ f(x) = 2\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right)(\omega ＞ 0) $在区间$[0, \pi]$上恰有两个最大值，则实数$\omega$的取值范围是_。

答案： 8.$\left[\frac{13}{6},\frac{25}{6}\right)$ 解析:因为$\omega＞0$，$x\in[0,\pi]$，所以$\omega x+\frac{\pi}{3}\in\left[\frac{\pi}{3},\omega\pi+\frac{\pi}{3}\right]$.又$f(x)=2\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega＞0)$在区间$[0,\pi]$上恰有两个最大值，所以$\omega\pi+\frac{\pi}{3}\in\left[\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2}\right)$，解得$\omega\in\left[\frac{13}{6},\frac{25}{6}\right)$.故答案为$\left[\frac{13}{6},\frac{25}{6}\right)$.

9. $\boldsymbol{★★}$（2025·陕西榆林高一期末）函数$ f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0, \omega ＞ 0, 0 ＜ \varphi ＜ \pi) $在一个周期内的图象如图所示。
（1）求$ f(x) $的解析式；
（2）将$ f(x) $的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度后得到函数$ g(x) $的图象，设$ h(x) = f(x) + g(x) $，证明：$ h(x) $为奇函数。

答案： 9.
(1)解:由题图得$A=2$，$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}$，则$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$，即$\omega=2$，此时$f(x)=2\sin(2x+\varphi)$.因为$-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{12}$，则该函数图象一个最高点为$\left(-\frac{\pi}{12},2\right)$，代入点$\left(-\frac{\pi}{12},2\right)$得$\sin\left(-\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=1$，则$-\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，即$\varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$.又因为$0＜\varphi＜\pi$，所以$k=0$，$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，故$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$.
(2)证明:由题意得$g(x)=2\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{2\pi}{3}\right]=-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，则$h(x)=2\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$.
因为$h(-x)=2\sin\left(-2x+\frac{2\pi}{3}\right)-2\sin\left(-2x+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\left[-\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\pi\right]-2\sin\left[-\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)+\pi\right]=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-2\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)=-h(x)$，且其定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，所以$h(x)$为奇函数.

10. $\boldsymbol{★★}$(2025·江苏镇江高一期末)给出以下三个条件：①函数$ y = f(x) $图象的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$；②$ f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 0 $；③对任意的$ x \in \mathbf{R} $，$ f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{12}\right) $。请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并解答该题。
已知函数$ f(x) = \sin \left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right)(0 ＜ \omega ＜ 3) $，且满足_。
(1)求$\omega$的值；并用“五点法”作出函数$ y = f(x) $在一个周期内的图象；
(2)将函数$ f(x) $的图象向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度后，再将此时图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数$ y = g(x) $的图象，若$ y = g(x) $的图象与直线$ y = k $在区间$[0, \pi]$上有且只有一个交点，求实数$ k $的取值范围。

答案：
10.解:①(或②或③)
(1)若选择①，可知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}$，可得$\omega=2$;
若选择②，由$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=0$可得$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\omega+\frac{\pi}{3}\right)=0$，因此$-\frac{\pi}{6}\omega+\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得$\omega=2-6k,k\in\mathbf{Z}$.又$0＜\omega＜3$，所以$\omega=2$;
若选择③，由对任意的$x\in\mathbf{R},f(x)\leqslant f\left(\frac{\pi}{12}\right)$可得$f\left(\frac{\pi}{12}\right)$取得最大值，即$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{12}\omega+\frac{\pi}{3}\right)=1$，即$\frac{\pi}{12}\omega+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得$\omega=2+24k,k\in\mathbf{Z}$.又$0＜\omega＜3$，可得$\omega=2$.
因此$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，列表取值如下:
$2x+\frac{\pi}{3}$：$0$，$\frac{\pi}{2}$，$\pi$，$\frac{3\pi}{2}$，$2\pi$
$x$：$-\frac{\pi}{6}$，$\frac{\pi}{12}$，$\frac{\pi}{3}$，$\frac{7\pi}{12}$，$\frac{5\pi}{6}$
$f(x)$：$0$，$1$，$0$，$-1$，$0$
描点连线得到图象，如图①，

(2)将函数$f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度可得$y=\sin\left[2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$的图象，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得$g(x)=\sin\left(2×\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$的图象，当$x\in[0,\pi]$时，$x-\frac{\pi}{3}\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$，所以$g(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$，画出$g(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$在$[0,\pi]$上的图象，如图②，

若$y=g(x)$的图象与直线$y=k$在区间$[0,\pi]$上有且只有一个交点，由图②可得当$k\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cup\{1\}$时，满足题意，因此实数$k$的取值范围为$\{1\}\cup\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

$\boldsymbol{★★★}$ 已知函数$ f(x) = \sin(\omega x + \varphi) $($ \omega ＞ 0 $)在$\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right]$上单调，且$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -f\left(-\frac{\pi}{3}\right) $，则$\omega$的取值不可能为 (B)


A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$\frac{9}{5}$
D.$\frac{12}{7}$

答案： B 解析:由$f(x)$在$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right]$上单调，$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=-f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$，故$\frac{T}{2}\geqslant\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}\Rightarrow T\geqslant\pi$，而$\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$，则$\frac{\pi}{2}\omega+\varphi=0$，又$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{4\pi}{3}\right)$，依次讨论$x=\frac{4\pi}{3}$对应为点$C,A,D,E$四种情况，
若$\frac{4\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{T}{2}\omega=\frac{5\pi}{3}\omega$，则$\omega=\frac{3}{5}$，满足$T\geqslant\pi$;若$\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}=T$，则$\omega=\frac{12}{7}$，满足$T\geqslant\pi$;由$\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{12}=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}$，则$\omega=\frac{12}{7}$，若$\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{5\pi}{6}=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}$，则$\omega=\frac{6}{5}$，满足$T\geqslant\pi$;若$\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=2T=\frac{7\pi}{6}=\frac{2\pi}{\omega}$，则$\omega=\frac{24}{7}$，不满足$T\geqslant\pi$，其他情况均不符合.综上，B不可能，A，C，D可能.故选B.