《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2025·江苏无锡高一月考)已知全集$ U = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} $，集合$ A = \{ x \in \mathbf{Z} | |x| ＜ 2 \} $，则$ \complement_{U}A = $(B)

A.$ \{ -1, 0, 1 \} $
B.$ \{ -2, 2, 3 \} $
C.$ \{ -2, -1, 2 \} $
D.$ \{ -2, 0, 3 \} $

答案： 1.B 解析：A={x∈Z||x|＜2}={-1,0,1}，
∴∁_UA={-2,2,3}.故选B.

2. (2025·浙江衢州高一期中)若集合$ P = \{ 0, 1 \} $，则集合$ M = \{ A | A \subseteq P \} $可用列举法表示为(D)

A.$ \{ 0, 1 \} $
B.$ \{ \varnothing, 0, 1 \} $
C.$ \{ \varnothing, \{ 0 \}, \{ 1 \} \} $
D.$ \{ \varnothing, \{ 0 \}, \{ 1 \}, \{ 0, 1 \} \} $

答案： 2.D 解析：因为A⊆P，则A=∅，{0}，{1}，{0,1}，所以M={A|A⊆P}={∅，{0}，{1}，{0,1}}.故选D.

3. (2025·江苏苏州高一月考)已知集合$ A = \{ x | ax = 2 \} $，若$ A \subseteq \mathbf{N} $，则所有整数$ a $的取值构成的集合为(C)

A.$ \{ 1, 2 \} $
B.$ \{ 1 \} $
C.$ \{ 0, 1, 2 \} $
D.$ \mathbf{N} $

答案： 3.C 解析：
∵A={x|ax=2}，故A中至多有一个元素，当A=∅时，a=0，当A≠∅时，a=1,2，
∴a∈{0,1,2}.故选C.

4. (2025·湖北荆州高一月考)已知集合$ A = \left\{ x \mid x = k + \dfrac{1}{6}, k \in \mathbf{Z} \right\} $，$ B = \left\{ x \mid x = \dfrac{m}{2} - \dfrac{1}{3}, m \in \mathbf{Z} \right\} $，$ C = \left\{ x \mid x = \dfrac{n}{2} + \dfrac{1}{6}, n \in \mathbf{Z} \right\} $，则集合$ A $，$ B $，$ C $的关系是(C)

A.$ A \subsetneqq C \subsetneqq B $
B.$ C \subsetneqq A \subsetneqq B $
C.$ A \subsetneqq C = B $
D.$ A \subsetneqq B \subsetneqq C $

答案： 4.C 解析：
∵集合$C={x|x=\frac{n}{2}+\frac{1}{6},n∈Z}，$当n=2a(a∈Z)时，$x=\frac{2a}{2}+\frac{1}{6}=a+\frac{1}{6}，$当n=2a+1(a∈Z)时，$x=\frac{2a + 1}{2}+\frac{1}{6}=a+\frac{2}{3}.$又
∵集合$A={x|x=k+\frac{1}{6},k∈Z}，$
∴A⊈C.
∵集合$B={x|x=\frac{m}{2}-\frac{1}{3},m∈Z}，$集合$C={x|x=\frac{n}{2}+\frac{1}{6},n∈Z}，$$\frac{m}{2}-\frac{1}{3}=\frac{m - 1}{2}+\frac{1}{6}，$
∴C=B，综上可得A⊈C=B.故选C.

5. (2025·江苏连云港高一月考)已知集合$ M = \{ x \in \mathbf{Z} | a \leq x \leq 2a - 1 \} $，若集合$ M $有15个真子集，则实数$ a $的取值范围为(D)

A.$ [4, 6) $
B.$ \left[ \dfrac{9}{2}, \dfrac{11}{2} \right] $
C.$ \left[ \dfrac{9}{2}, 5 \right) \cup \left( 5, \dfrac{11}{2} \right) $
D.$ \left[ \dfrac{9}{2}, 5 \right) \cup \left( 5, \dfrac{11}{2} \right) \cup \{ 4 \} $

答案： 5.D 解析：若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素，结合M={x∈Z|a≤x≤2a-1}，可知a＜2a-1，即a＞1，且M={x∈Z|a≤x≤2a-1}中含有4个整数，①当1＜a＜4时，集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1}的区间长度为2a-1-a=a-1＜3，此时M={x∈Z|a≤x≤2a-1}中不可能含有4个整数；②当a=4时，集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1}={x|4≤x≤7}，其中含有4,5,6,7共4个整数，符合题意；③当a＞4时，2a-1-a=a-1＞3.
(i)若3＜a-1＜4，即4＜a＜5.若2a-1是整数，则集合M={x|a≤x≤2a-1}中含有4个整数，根据7＜2a-1＜9，可知2a-1=8，$a=\frac{9}{2}，$此时集合$M={x∈Z|a≤x≤2a-1}={x∈Z|\frac{9}{2}≤x≤8}，$其中含有5,6,7,8共4个整数，符合题意.若2a-1不是整数，则集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1}中含有5,6,7,8这4个整数，则必须4＜a＜5且8＜2a-1＜9，解得$\frac{9}{2}＜a＜5；$
(ii)若a=5时，集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1}={x∈Z|5≤x≤9}，其中含有5,6,7,8,9共5个整数，不符合题意.
(iii)当a＞5时，2a-1-a=a-1＞4，此时集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1}中只能含有6,7,8,9这4个整数，故2a-1＜10，即$a＜\frac{11}{2}，$结合a＞5可得$5＜a＜\frac{11}{2}.$
综上所述，a=4或$\frac{9}{2}≤a＜5$或$5＜a＜\frac{11}{2}，$即实数a的取值范围是$[\frac{9}{2},5)∪(5,\frac{11}{2})∪{4}.$故选D.
易错提醒：根据集合之间的包含关系求参时，需要对子集是否为空集进行分类讨论.

6. (2025·安徽阜阳高一月考)已知集合$ A = \{ x | -2 \leq x \leq 5 \} $，$ B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2m - 1 \} $。若$ B \subseteq A $，则实数$ m $的取值范围为(C)

A.$ m \geq 3 $
B.$ 2 \leq m \leq 3 $
C.$ m \leq 3 $
D.$ m \geq 2 $

答案： 6.C 解析：当B=∅时，m+1＞2m-1，
∴m＜2成立；当B≠∅时，$\begin{cases} m+1≤2m-1, \\ m+1≥-2, \\ 2m-1≤5, \end{cases}$解得2≤m≤3.综上所述，m≤3.故选C.

7. (2025·广东广州高一期中)已知集合$ S = \{ a^2, 2a, 0 \} $，若$ 4 \in S $，集合$ A $是$ S $的子集且$ A $有两个元素，则$ A = ${4,-4}或{4,0}或{-4,0}。

答案： 7.{4,-4}或{4,0}或{-4,0} 解析：由于4∈S，所以2a=4或$a^2=4，$解得a=2或-2.当a=2时，S={4,4,0}不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a=-2时，S={4,-4,0}满足题意.又因为集合A是集合S的子集且A有两个元素，所以A={4,-4}或{4,0}或{-4,0}.故答案为{4,-4}或{4,0}或{-4,0}.

8. (2025·河南商丘高一月考)满足$ \{ 0, 1 \} \subseteq M \subsetneqq \{ 0, 1, 3, 5 \} $的集合$ M $的个数为3。

答案： 8.3 解析：因为{0,1}⊆M⊊{0,1,3,5}，所以M可以为{0,1}，{0,1,5}，{0,1,3}，共3个.故答案为3.

9. (2025·四川成都高一期中)若对任意的$ x \in A $，有$ \dfrac{1}{x} \in A $，则称$ A $是“伙伴关系集合”，则集合$ M = \left\{ -1, 0, \dfrac{1}{2}, 1, 2 \right\} $的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为7。

答案： 9.7 解析：因为x∈A，则$\frac{1}{x}∈A，$就称A是“伙伴关系集合”，集合$M={-1,0,\frac{1}{2},1,2}，$所以具有伙伴关系的集合有{-1}，{1}，${\frac{1}{2},2}，${-1,1}，${-1,\frac{1}{2},2}，$${1,\frac{1}{2},2}，$${-1,1,\frac{1}{2},2}，$共7个.故答案为7.

10. （2025·河北廊坊高一月考）设集合$ A = \{ x | x^2 + 4x = 0 \} $，$ B = \{ x | x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 1 = 0 \} $。
（1）若$ B \subseteq A $，求实数$ a $的取值范围；
（2）若$ A \subseteq B $，求实数$ a $的取值范围。

答案： 10.解：
(1)集合$A={x|x^2+4x=0}={-4,0}，$$B={x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0}，$B⊆A，①若B=∅，则$Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8$＜0，则a＜-1；②若B={0}或{-4}，则Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8=0，解得a=-1，将a=-1代入方程x^2+2(a+1)x+a^2-1=0得x^2=0，x=0，即B={0}符合要求；③若B=A={-4,0}，则Δ=8a+8＞0，即a＞-1，即$x^2+2(a+1)x+a^2-1=0$的两根分别为-4,0，则$a^2-1=0$且-2(a+1)=-4，则a=1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.
(2)
∵A⊆B，
∴B=A={0,-4}，则Δ=8a+8＞0，即a＞-1，即0和-4是方程$x^2+2(a+1)x+a^2-1=0$的两根，
∴$-2(a+1)=-4,a^2-1=0，$解得a=1或a=-1(舍去)，故a=1.

(2025·四川内江高一月考)已知集合$ A = \{ x | x^2 + 2024x + 2025 = 0 \} $，$ B = \{ x | (x^2 + ax)(x^2 + 4ax + 4) = 0 \} $，记非空集合$ S $的元素个数为$ n(S) $，已知$ |n(A) - n(B)| = 1 $，记实数$ a $的所有可能取值构成集合$ M $，则$ M $的非空子集的个数是7。

答案： 7 解析：对于$x^2+2024x+2025=0，$有$Δ=2024^2-4×2025＞0，$所以集合$A={x|x^2+2024x+2025=0}$中有两个元素，即n(A)=2.因为|n(A)-n(B)|=1，所以n(B)=1或3，对于$(x^2+ax)(x^2+4ax+4)=0，$易知x=0必是方程中的解，当n(B)=1时，B={0}，所以$x^2+ax=0$有唯一解，且$x^2+4ax+4=0$无解，则$\begin{cases} a^2-4×0=0, \\ (4a)^2-4×4$＜0, \end{cases}解得a=0；当n(B)=3时，若x^2+ax=0有唯一解，x^2+4ax+4=0无解，不满足题意；若x^2+ax=0有两解，则x^2+4ax+4=0有唯一解，则\begin{cases} a^2-4×0＞$0, \\ (4a)^2-4×4=0, \end{cases}$解得a=-1或1；综上，实数a的所有可能取值为-1,0,1，则M={-1,0,1}.所以M的非空子集的个数为$2^3-1=7.$故答案为7.