《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

16. (15分)(2025·江苏苏州高一月考)已知集合$ A = \{ x|ax^{2}-3x + 2 = 0,x\in \mathbf{R},a\in \mathbf{R}\} $.
(1)若$ A $中只有一个元素,求$ a $的值,并求集合$ A $;
(2)若$ A $中至少有一个元素,求$ a $的取值范围.

答案： 16.解：
(1)当$a=0$，集合$A=\{x\mid-3x+2=0\}=\left\{\frac{2}{3}\right\}$；当$a\neq0$时，$\Delta=9 - 8a = 0$，解得$a=\frac{9}{8}$，此时$A=\left\{\frac{4}{3}\right\}$，综上可知，$a$的值为$0$或$\frac{9}{8}$，当$a=0$时，$A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$；当$a=\frac{9}{8}$时，$A=\left\{\frac{4}{3}\right\}$.
(2)当集合$A$中有两个元素时，方程$ax^{2}-3x + 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$a\neq0$且$\Delta=9 - 8a＞0$，解得$a＜\frac{9}{8}$且$a\neq0$.又由
(1)知，当$A$中只有一个元素时，$a=0$或$a=\frac{9}{8}$，故$A$中至少有一个元素时，$a$的取值范围为$\left(-\infty,\frac{9}{8}\right]$.

17. (15分)(2025·江苏徐州高一月考)已知全集$ U = \mathbf{R} $,$ A = \{ x|x^{2}+px + 12 = 0\} $,$ B = \{ x|x^{2}-5x + q = 0\} $.
(1)若集合$ B = \varnothing $,求实数$ q $的取值范围;
(2)若$ (\complement_{U}A)\cap B = \{ 2\} $,$ (\complement_{U}B)\cap A = \{ 4\} $,求$ A\cup B $.

答案： 17.解：
(1)若$B=\varnothing$，则方程$x^{2}-5x + q = 0$无实数解，故$\Delta=(-5)^{2}-4q＜0$，解得$q＞\frac{25}{4}$.
(2)$\because(\complement_{U}A)\cap B=\{2\}$，$\therefore$方程$x^{2}-5x + q = 0$的一个根为$2$，则$q = 6$，方程另一个根为$3$，$\therefore B=\{2,3\}$.$\because(\complement_{U}B)\cap A=\{4\}$，$\therefore$方程$x^{2}+px + 12 = 0$的一个根为$4$，则$p = -7$，方程的另一个根为$3$，$\therefore A=\{3,4\}$，$\therefore A\cup B=\{2,3,4\}$.