《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

13. * (2025·江苏徐州高一月考)设集合$ A = \{ x|(x - 3)(x - a) = 0,a\in\mathbf{R} \} $,$ B = \{ x|x^2 - 5x + 4 = 0 \} $.
(1)当$ a = 4 $时,求$ A\cap B $,$ A\cup B $;
(2)记$ C = A\cup B $,若集合$ C $的真子集有7个,求:所有实数$ a $的取值所构成的集合.

答案： 13.解：
(1)当a=4时，A={x|(x-3)(x-4)=0,a∈R}={3,4}
∴$x^2-5x+4=0$,即(x-4)(x-1)=0,解得x=4或1,
∴B={1,4},
∴A∩B={4},A∪B={1,3,4}.
(2)若集合C的真子集有7个，则$2^n-1=7$,解得n=3,即C=A∪B中的元素只有3个，而(x+3)(x-a)=0,解得x=3或a,则A={3,a},由
(1)知B={1,4},则当a=1或3或4时，C=A∪B={1,3,4},故所有实数a的取值所构成的集合为{1,3,4}.

14. * 已知全集$ U = A\cup B = \{ x\in\mathbf{N}|0\leqslant x\leqslant 10 \} $,$ A\cap(\complement_{U}B) = \{ 1,3,5,7 \} $.
(1)求集合$ B $;
(2)若集合$ C = \{ x|2\leqslant x\leqslant 10 \} $,求$ B\cup C $,$ B\cap C $.

答案：
14.解：
(1)因为A∩(∁_U B)={1,3,5,7},所以1,3,5,7∈A,1,3,5,7∉B,由U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},作出Venn图，如图，

由图可知B={0,2,4,6,8,9,10}.
(2)因为C={x|2≤x≤10},所以B∪C={x|2≤x≤10或x=0},B∩C={2,4,6,8,9,10}.

15. (2025·江苏南通高一月考)已知集合$ A = \{ x|-2\leqslant x\leqslant 5 \} $,$ B = \{ x|3m - 5\leqslant x\leqslant 2m + 7 \} $,$ C = \{ x|m + 1\leqslant x\leqslant 2m - 1 \} $.
(1)若$ A\cap B = A $,求实数$ m $的取值范围;
(2)若$ A\cup C = A $,求实数$ m $的取值范围;
(3)若$ A\cap C = \varnothing $,求实数$ m $的取值范围.

答案： 15.解：
(1)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|3m-5≤x≤2m+7},若A∩B=A,则A⊆B,所以$\begin{cases}3m-5≤-2, \\ 2m+7≥5,\end{cases}$解得-1≤m≤1,所以实数m的取值范围为[-1,1].
(2)集合A={x|-2≤x≤5},C={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪C=A,则C⊆A,当C=∅,即m+1＞2m-1,m＜2时，符合题意；当C≠∅时，有-2≤m+1≤2m-1≤5,解得2≤m≤3,所以实数m的取值范围为(-∞,3].
(3)集合A={x|-2≤x≤5},C={x|m+1≤x≤2m-1},若A∩C=∅,当C=∅,即m+1＞2m-1,m＜2时，符合题意；当C≠∅时，有5＜m+1≤2m-1或m+1≤2m-1＜-2,解得m＞4,所以实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).

* (多选)(2025·江苏苏州高一月考)设全集为$ U $,设$ A,B $是两个集合,定义集合$ T(A,B) = (A\cap\complement_{U}B)\cup(B\cap\complement_{U}A) $,则下列说法正确的是(ABD)

A.$ T(A,A) = \varnothing $
B.$ T(\varnothing,A) = A $
C.$ T(A,U) = A $
D.$ T(A,B) = T(B,A) $

答案： ABD 解析：对T(A,A)而言，A∩(∁_U A)=∅,所以T(A,A)=∅，故A正确；因为∅∩(∁_U A)=∅,且A∩(∁_U ∅)=A∩U=A,所以T(∅,A)=∅∪A=A,故B正确；因为A∩(∁_U U)=∅,且U∩(∁_U A)=∁_U A,所以T(A,U)=∁_U A,故C不正确；T(A,B)=(B∩∁_U A)∩(A∩∁_U B)=T(B,A),故D正确.故选ABD.