《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

16. (15分)(2025·江苏连云港高一月考)已知正数$x,y$满足$xy = 4x + y$.
(1)求$xy$的最小值;
(2)求$2x + y$的最小值.

答案： 16.解：
(1)因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以$xy = 4x + y \geqslant 2\sqrt{4xy} = 4\sqrt{xy}$，解得$xy \geqslant 16$，当且仅当$y = 4x$时取等号.由$y = 4x$且$xy = 4x + y$，解得$x = 2$，$y = 8$，所以当$x = 2$，$y = 8$时，$xy$取得最小值16.
(2)由$xy = 4x + y$，得$y = \frac{4x}{x - 1} ＞ 0$，则$x ＞ 1$，所以$2x + y = 2x + \frac{4x}{x - 1} = 2(x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 4 \geqslant 2\sqrt{2(x - 1) · \frac{4}{x - 1}} + 6 = 4\sqrt{2} + 6$，当且仅当$2(x - 1) = \frac{4}{x - 1}$，即$x = \sqrt{2} + 1$时取等号，所以当$x = \sqrt{2} + 1$，$y = 4 + 2\sqrt{2}$时，$2x + y$取得最小值$4\sqrt{2} + 6$.

17. (15分)(2025·江苏南通高一月考)某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示,要求每个矩形用地的面积为$36\ m^2$且需用篱笆围住,菜园间留有一个十字形过道,纵向部分路宽为1 m,横向部分路宽为2 m.
(1)当矩形用地的长和宽分别为多少时,所用篱笆最短? 此时该菜园的总面积为多少?
(2)为节省土地,使菜园的总面积最小,此时矩形用地的长和宽分别为多少?

答案： 17.解：
(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为$x$m，则所需篱笆的长度为$4 × 2 × (x + \frac{36}{x})$.又$x + \frac{36}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{36}{x}} = 12$，当且仅当$x = 6$时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为6m时，所用篱笆最短，此时该菜园的总面积为$(2 × 6 + 1) × (2 × 6 + 2) = 182(m^{2})$.
(2)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为$x$m，菜园的总面积为$y$ $m^{2}$，则$y = (2x + 1)(2 × \frac{36}{x} + 2) = 146 + 4x + \frac{72}{x} \geqslant 146 + 2\sqrt{4x · \frac{72}{x}} = 146 + 24\sqrt{2}$，当且仅当$4x = \frac{72}{x}$，即$x = 3\sqrt{2}$时，等号成立，此时另一边长度为$\frac{36}{3\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$m，即矩形的长和宽分别为$6\sqrt{2}$m，$3\sqrt{2}$m时，菜园的总面积最小.