《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

7. * (2025·江苏南京二十九中高一月考)含有有限元素的数集,定义“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数,例如$ \{4,6,9\} $的交替和是$ 9 - 6 + 4 = 7 $;而$ \{5\} $的交替和是$ 5 $,则集合$ M = \{1,2,3,4\} $的所有非空子集的交替和的总和为 (B)

A.$ 12 $
B.$ 32 $
C.$ 80 $
D.$ 192 $

答案： 7.B 解析：集合$M = \{ 1,2,3,4\}$的所有非空子集为$\{ 1\}$，$\{ 2\}$，$\{ 3\}$，$\{ 4\}$，$\{ 1,2\}$，$\{ 2,3\}$，$\{ 3,4\}$，$\{ 1,3\}$，$\{ 2,4\}$，$\{ 1,4\}$，$\{ 1,2,3\}$，$\{ 2,3,4\}$，$\{ 1,2,4\}$，$\{ 1,3,4\}$，$\{ 1,2,3,4\}$，所以交替和的总和为$1 + 2 + 3 + 4+(2 - 1)+(3 - 2)+(4 - 3)+(3 - 1)+(4 - 2)+(4 - 3 + 1)+(4 - 3 + 2 - 1)=32$。故选B。

8. * (2025·湖北武汉高一月考)设全集$ U = \{1,2,3,4,5,6\} $,且$ U $的子集可表示由$ 0,1 $组成的$ 6 $位字符串,如:$ \{2,4\} $表示的是自左向右的第$ 2 $个字符为$ 1 $,第$ 4 $个字符为$ 1 $,其余字符均为$ 0 $的$ 6 $位字符串$ 010\ 100 $,并规定,空集表示的字符串为$ 000\ 000 $;对于任意两集合$ A,B $,我们定义集合运算$ A - B = \{x\mid x\in A 且 x\notin B\} $,$ A*B = (A - B)\cup (B - A) $.若$ A = \{2,3,4,5\} $,$ B = \{3,5,6\} $,则$ A*B $表示的$ 6 $位字符串是 (C)

A.$ 101\ 010 $
B.$ 011\ 001 $
C.$ 010\ 101 $
D.$ 000\ 111 $

答案： 8.C 解析：由题意可得若$A = \{ 2,3,4,5\}$，$B = \{ 3,5,6\}$，则$A*B = \{ 2,4,6\}$，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符均为0，即$A*B$表示的6位字符串是010101。故选C。

9. * (多选)(2025·江苏常州高一月考)定义一个集合$ A $的所有子集组成的集合叫作集合$ A $的幂集,记为$ P(A) $,用$ n(A) $表示有限集$ A $的元素个数,则下列命题中正确的是 (ABD)

A.对于任意集合$ A $,都有$ A\in P(A) $
B.若$ n(A) - n(B) = 1 $,则$ n(P(A)) = 2× n(P(B)) $
C.若$ A\cap B = \varnothing $,则$ P(A)\cap P(B) = \varnothing $
D.若$ A\subseteq B $,则$ P(A)\subseteq P(B) $

答案： 9.ABD 解析：对于任意集合$A$，都有$A\subseteq A$，所以$A\in P(A)$，A对；由已知可得$n(P(A)) = 2^{n(A)}$，$n(P(B)) = 2^{n(B)}$，又$n(A)-n(B)=1$，所以$n(P(A)) = 2× n(P(B))$，B对；$\because\varnothing\subseteq P(A)$，$\varnothing\subseteq P(B)$，所以$\varnothing\in(P(A)\cap P(B))$，所以$P(A)\cap P(B)\neq\varnothing$，C错误；对于任意的集合$C\in P(A)$，则$C\subseteq A$，又$A\subseteq B$，所以$C\subseteq B$，所以$C\in P(B)$，D对。故选ABD。

10. * (2025·辽宁省实验中学高一月考)已知集合$ A = \{(x,y)\mid \vert x\vert \leqslant 1,\vert y\vert \leqslant 1,x,y\in \mathbf{Z}\} $,$ B = \{(x,y)\mid \vert x\vert \leqslant 3,\vert y\vert \leqslant 2,x,y\in \mathbf{Z}\} $,定义集合$ A\oplus B = \{(x_1 + x_2,y_1 + y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\} $,则$ A\oplus B $中有 63个元素.

答案：
10.63 解析：$A = \{(x,y)\mid|x|\leq1,|y|\leq1,x,y\in\mathbf{Z}\}$中有$3×3 = 9$(个)元素(即9个点)，即图中正方形$FGHI$内部及其边上的整点，集合$B = \{(x,y)\mid|x|\leq3,|y|\leq2,x,y\in\mathbf{Z}\}$中有$7×5 = 35$(个)元素(即35个点)，即图中长方形$ABCD$内部及其边上的整点，所以$x_1 + x_2 = - 4$或$- 3$或$- 2$或$- 1$或0或1或2或3或4，共有9个值，$y_1 + y_2 = - 3$或$- 2$或$- 1$或0或1或2或3，共有7个值，所以$A\oplus B = \{(x_1 + x_2,y_1 + y_2)\mid(x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$中的元素可看作正方形$NMPQ$中的整点，即$7×9 = 63$(个)。故答案为63。

11. * (2025·四川成都高一期中)定义集合$ P = \{x\mid a\leqslant x\leqslant b\} $的“长度”是$ b - a $,其中$ a,b\in \mathbf{R} $.已知集合$ M = \{x\mid m\leqslant x\leqslant m + \dfrac{1}{2}\} $,$ N = \{x\mid n - \dfrac{3}{5}\leqslant x\leqslant n\} $,且$ M,N $都是集合$ \{x\mid 1\leqslant x\leqslant 2\} $的子集.
(1)求集合$ M\cap N $的“长度”最小值;
(2)若$ m = \dfrac{6}{5} $,集合$ M\cup N $的“长度”大于$ \dfrac{3}{5} $,求$ n $的取值范围.

答案： 11.解：
(1)依题意可知集合$M,N$不是空集，要使$M,N$都是集合$\{ x\mid1\leq x\leq2\}$的子集，则需$\begin{cases}1\leq m,\\m+\frac{1}{2}\leq2,\end{cases}$且$\begin{cases}1\leq n-\frac{3}{5},\\n\leq2,\end{cases}$解得$1\leq m\leq\frac{3}{2}$且$\frac{8}{5}\leq n\leq2$，要使$M\cap N$的“长度”最小，只有当$m$取最小值，$n$取最大值或$m$取最大值，$n$取最小值时才成立。当$m = 1,n = 2$时，$M\cap N = \{ x\mid\frac{7}{5}\leq x\leq\frac{3}{2}\}$，“长度”为$\frac{3}{2}-\frac{7}{5}=\frac{1}{10}$；当$m = \frac{3}{2},n = \frac{8}{5}$时，$M\cap N = \{ x\mid\frac{3}{2}\leq x\leq\frac{8}{5}\}$，“长度”为$\frac{8}{5}-\frac{3}{2}=\frac{1}{10}$，故集合$M\cap N$的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$。
(2)若$m = \frac{6}{5}$，$M = \{ x\mid\frac{6}{5}\leq x\leq\frac{17}{10}\}$，要使集合$M\cup N$的“长度”大于$\frac{3}{5}$，故$n-\frac{3}{5}-\frac{6}{5}\gt\frac{3}{5}$或$n+\frac{3}{5}-\frac{6}{5}\gt\frac{3}{5}$，即$n\gt\frac{17}{10}$或$n\gt\frac{9}{5}$。又$\frac{8}{5}\leq n\leq2$，所以$n\in[\frac{8}{5},\frac{17}{10})\cup(\frac{9}{5},2]$。