《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2025·浙江丽水高一期中)已知$p:x^{2}-x = 0$，$q:x = 0$，则$p$是$q$的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 1.B 解析:由$x^{2}-x=0$可得x=0或x=1，由于$\{x \mid x=0\} \subsetneqq \{x \mid x=0或x=1\}$，所以p是q的必要不充分条件.故选B.

2. (2025·河北石家庄高一月考)“$1 - x\lt 0$”成立的一个必要不充分条件是(D)

A.$x\gt 1$
B.$x\gt 2$
C.$x\lt 3$
D.$x\gt 0$

答案： 2.D 解析:由1-x＜0得x＞1，所以$\{x \mid x＞1\}$是选项中对应集合的真子集，结合选项可知，D符合.故选D.

3. * (多选)(2025·山东青岛高一月考)下列说法正确的是(BC)

A.“$a\gt 1$”是“$\dfrac{1}{a}\lt 1$”的充要条件
B.“$a=\dfrac{1}{4}$”是“集合$A = \{x|ax^{2}+x + 1 = 0\}$中只有一个元素”的充分不必要条件
C.“$x\in A$”是“$x\in A\cap B$”的必要不充分条件条件
D.“$x\neq1$”是“$x^{2}-3x + 2\neq0$”的充分不必要条件

答案： 3.BC 解析:a＞1可得出$\frac{1}{a} ＜ 1$，所以“a＞1”是“$\frac{1}{a} ＜ 1$”的充分条件，a=-1，满足$\frac{1}{a} ＜ 1$，但得不出a＞1，所以“a＞1”是“$\frac{1}{a} ＜ 1$”的不必要条件，所以“a＞1”是“$\frac{1}{a} ＜ 1$”的充分不必要条件，故A错误；当$a=\frac{1}{4}$时，方程为$\frac{1}{4}x^{2}+x+1=0$，$(\frac{1}{2}x + 1)^{2}=0$，解得x=-2，所以集合A中只有一个元素，所以$a=\frac{1}{4}$是集合$A = \{x \mid ax^{2}+x+1=0\}$中只有一个元素的充分条件，当a=0时，方程x+1=0只有一个解，集合A中只有一个元素，当a≠0时，因为集合A中只有一个元素，所以$\Delta=1^{2}-4a=0$，解得$a=\frac{1}{4}$，所以集合A中只有一个元素，可得a=0或$a=\frac{1}{4}$，所以“$a=\frac{1}{4}$”是“集合$A = \{x \mid ax^{2}+x+1=0\}$中只有一个元素”的充分不必要条件，故B正确；如“$2 \in \{1,2\}$，但推不出$2 \in \{1,2\} \cap \{1,3\}$，所以“$x \in A$”是“$x \in A \cap B$”的不充分条件，显然$x \in A \cap B$能得出$x \in A$，所以“$x \in A$”是“$x \in A \cap B$”的必要条件，故C正确；由$x^{2}-3x + 2 \neq 0$，可得x≠1且x≠2，所以“x≠1”是“$x^{2}-3x + 2 \neq 0$”的必要不充分条件，故D错误.故选BC.

4. * 设$U$为全集，$A,B$为集合，则“存在集合$C$使得$A\subseteq C$，$B\subseteq\complement_{U}C$”是“$A\subseteq\complement_{U}B$”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 4.C 解析:充分性:若存在集合C使得$A \subseteq C$，$B \subseteq \complement_{U}C$，则$\complement_{U}C \subseteq \complement_{U}A$，所以$A \subseteq \complement_{U}B$，充分性成立；必要性:若$A \subseteq \complement_{U}B$，取C=A，则$A \subseteq C$，$B \subseteq \complement_{U}C$，必要性成立.故选C.

5. * 若$a,b$都是实数，试从①$ab = 0$；②$a + b = 0$；③$a(a^{2}+b^{2}) = 0$；④$ab\gt 0$中选出适合的条件，用序号填空.
(1)“$a,b$都为$0$”的必要条件是①②③；
(2)“$a,b$都不为$0$”的充分条件是④；
(3)“$a,b$至少有一个为$0$”的充要条件是①.

答案： 5.
(1)①②③
(2)④
(3)① 解析:①$ab=0 \Leftrightarrow a=0$或b=0，即a,b至少有一个为0，所以是“a,b都为0”的必要条件，也是“a,b至少有一个为0”的充要条件；②$a + b=0 \Leftrightarrow$a,b互为相反数，则a,b可能均为0，也可能为一正一负，所以是“a,b都为0”的必要条件；③$(a^{2}+b^{2})=0 \Leftrightarrow a=0$或$\begin{cases} a = 0, \\ b = 0, \end{cases}$所以是“a,b都为0”的必要条件；④$ab＞0 \Leftrightarrow \begin{cases} a ＞ 0, \\ b ＞ 0 \end{cases}$或$\begin{cases} a ＜ 0, \\ b ＜ 0, \end{cases}$则a,b都不为0，所以是“a,b都不为0”的充分条件.故答案为
(1)① ②③；
(2)④；
(3)①.

6. (2025·江苏连云港高一期中)已知集合$A = \{x|-1\leq x\leq1\}$，$B = \{x|x\geq b - a\}$，若“$a = 2$”是“$A\cap B = A$”的充分条件，则实数$b$的取值范围为$(-\infty,1]$.

答案： 6.$(-\infty,1]$ 解析:若$A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B$，则$b - a \leq -1$，即$b \leq a - 1$，要使“a=2”是“$A \cap B = A$”的充分条件，只需$b \leq 2 - 1 = 1$，所以$b \in (-\infty,1]$.故答案为$(-\infty,1]$.

7. [苏教材变式] (2025·福建泉州高一月考)已知集合$A = \{x|-3\leq x\leq4\}$，$B = \{x|1 - m\leq x\leq3m - 2\}$.
(1)是否存在实数$m$，使得$x\in A$是$x\in B$成立的充要条件？若存在，求出实数$m$的值，若不存在，请说明理由.
(2)是否存在实数$m$，使得$x\in A$是$x\in B$成立的充分不必要条件？若存在，求出实数$m$的值，若不存在，请说明理由.
(3)是否存在实数$m$，使得$x\in A$是$x\in B$成立的必要不充分条件？若存在，求出实数$m$的值，若不存在，请说明理由.

答案： 7.解:
(1)不存在.理由:若存在实数m，使得$x \in A$是$x \in B$成立的充要条件，则A=B.故$\begin{cases} 1 - m = -3, \\ 3m - 2 = 4, \end{cases}$无解，故不存在实数m，使得$x \in A$是$x \in B$成立的充要条件.
(2)存在.由$x \in A$是$x \in B$成立的充分不必要条件得A⫋B，故$\begin{cases} -3 \geq 1 - m, \\ 4 \leq 3m - 2, \end{cases}$且等号不同时成立，解得$\begin{cases} m \geq 4, \\ m \geq 2, \end{cases}$故m≥4，即m的取值范围为$[4,+\infty)$.
(3)存在.由$x \in A$是$x \in B$成立的必要不充分条件得B⫋A，当B=∅，即$1 - m ＞ 3m - 2$，$m ＜ \frac{3}{4}$时，符合题意；当B≠∅，即$1 - m \leq 3m - 2$，$m \geq \frac{3}{4}$时，由B⫋A得$\begin{cases} -3 \leq 1 - m, \\ 4 \geq 3m - 2, \end{cases}$且等号不同时成立，解得$\begin{cases} m \leq 4, \\ m \leq 2, \end{cases}$故$m \leq 2$，即$\frac{3}{4} \leq m \leq 2$.综上，m的取值范围为$(-\infty,2]$.

* (2025·广东佛山高一月考)已知集合$A = \{x\in\mathbf{Z}|$点$(x - 1,x - a)$不在第一、三象限$\}$，集合$B = \{t|1\leq t\lt 3\}$，若“$y\in B$”是“$y\in A$”的必要条件，则实数$a$的取值范围是$\{a \mid 0 ＜ a ＜ 3\}$.

答案： $\{a \mid 0 ＜ a ＜ 3\}$ 解析:由“$y \in B$”是“$y \in A$”的必要条件可知$A \subseteq B$，因为A中元素为整数，故A只可能为$\{1\}$，$\{2\}$，$\{1,2\}$，由点(x-1,x-a)不在第一、三象限，得$\begin{cases} x - 1 \geq 0, \\ x - a \leq 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x - 1 \leq 0, \\ x - a \geq 0, \end{cases}$即$\begin{cases} x \geq 1, \\ x \leq a \end{cases}$①或$\begin{cases} x \leq 1, \\ x \geq a \end{cases}$②.当a＜1时，①无解，由②得$a \leq x \leq 1$，此时$A = \{x \mid x \in Z \mid a \leq x \leq 1\}$，故A=$\{1\}$，有0＜a＜1；当a≥1时，由①②得$1 \leq x \leq a$，此时$A = \{x \mid x \in Z \mid 1 \leq x \leq a\}$.因为1∈A，只须3∉A，有1≤a＜3.综上，实数a的取值范围是0＜a＜3.故答案为$\{a \mid 0 ＜ a ＜ 3\}$.