《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (多选)(2025·广东广州高一月考)下列不等式中,可以作为$x^2 - 2x - 3 \leq 0$的一个充分不必要条件的是 (BC)

A.$-3 ＜ x ＜ 1$
B.$-1 ＜ x ＜ 3$
C.$-1 ＜ x \leq 3$
D.$-1 \leq x \leq 3$

答案： 1.BC 解析：由$x^2 - 2x - 3 \leq 0$，得$x \in [-1, 3]$，其充分不必要条件对应的集合为$[-1, 3]$的真子集即可。故选BC。

2. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (2025·浙江杭州学军中学高一期中)若集合$A = \left\{x\mid \left|x + \dfrac{1}{2}\right| ＜ \dfrac{5}{2}\right\}$,$B = \left\{x\mid \dfrac{5}{x - 3} \leq -1\right\}$,则$A \cup B = $ (A)

A.$(-3, 3)$
B.$(-3, 3]$
C.$(-2, 2)$
D.$[-2, 2)$

答案： 2.A 解析：$A = \{x \mid |x + \frac{1}{2}| ＜ \frac{5}{2}\} = \{x \mid -\frac{5}{2} ＜ x + \frac{1}{2} ＜ \frac{5}{2}\} = (-3, 2)$，$B = \{x \mid \frac{5}{x - 3} \leq -1\} = \{x \mid \frac{5}{x - 3} + 1 \leq 0\} = \{x \mid \frac{x + 2}{x - 3} \leq 0\} = [-2, 3)$，所以$A \cup B = (-3, 3)$。故选A。

3. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar}$ (多选)(2025·江苏连云港高一月考)为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为$V$的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出$5$升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出$3$升后用水补满,若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的$75\%$,则$V$的可能取值为 (CD)

A.$4$
B.$40$
C.$8$
D.$28$

答案： 3.CD 解析：第一次稀释后，药液浓度为$\frac{V - 5}{V}$，第二次稀释后，药液浓度为$\frac{V - 5 - \frac{V - 5}{V} × 3}{V} = \frac{V + \frac{15}{V} - 8}{V}$，依题意有$\frac{V + \frac{15}{V} - 8}{V} \leq 75\%$，即$V^2 - 32V + 60 \leq 0$，解得$2 \leq V \leq 30$，又$V - 5 \geq 0$，即$V \geq 5$，所以$5 \leq V \leq 30$。故选CD。

4. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏淮安高一月考)已知实数$a \in \mathbf{R}$,则不等式$(x + a)(ax - 1) ＜ 0$的解集不可能是 (D)

A.$\left\{x\mid -a ＜ x ＜ \dfrac{1}{a}\right\}$
B.$\{x\mid x ＞ 0\}$
C.$\left\{x\mid x ＞ -a 或 x ＜ \dfrac{1}{a}\right\}$
D.$\left\{x\mid x ＞ \dfrac{1}{a} 或 x ＜ -a\right\}$

答案： 4.D 解析：由$(x + a)(ax - 1) ＜ 0$，当$a = 0$时，不等式即为$-x ＜ 0$，解得$x ＞ 0$，即不等式的解集为$\{x \mid x ＞ 0\}$；当$a \neq 0$时，解方程$(x + a)(ax - 1) = 0$得$x_1 = -a$，$x_2 = \frac{1}{a}$，则当$a ＞ 0$时，$-a ＜ \frac{1}{a}$，函数$y = (x + a)(ax - 1)$的图象开口向上，故不等式的解集为$\{x \mid -a ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$；当$a ＜ 0$时，$\frac{1}{a} ＜ -a$，函数$y = (x + a)(ax - 1)$的图象开口向下，所以不等式的解集为$\{x \mid x ＞ -a 或 x ＜ \frac{1}{a}\}$。综上可得，当$a = 0$时，不等式的解集为$\{x \mid x ＞ 0\}$；当$a ＞ 0$时，不等式的解集为$\{x \mid -a ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$；当$a ＜ 0$时，不等式的解集为$\{x \mid x ＞ -a 或 x ＜ \frac{1}{a}\}$，所以不等式$(x + a)(ax - 1) ＜ 0$的解集不可能是选项D对应的解集。故选D。

5. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏无锡高一月考)命题“$\forall x \in \mathbf{R}$,$2kx^2 + kx - \dfrac{3}{8} ＜ 0$均成立”为真命题,则$k$的取值范围为 (B)

A.$-3 ＜ k ＜ 0$
B.$-3 ＜ k \leq 0$
C.$-3 \leq k \leq 0$
D.$k \leq -3$或$k \geq 0$

答案： 5.B 解析：由已知$2kx^2 + kx - \frac{3}{8} ＜ 0$在$x \in \mathbf{R}$上恒成立，当$k = 0$时，不等式为$-\frac{3}{8} ＜ 0$，恒成立；当$k \neq 0$时，$\begin{cases} k ＜ 0, \\ \Delta = k^2 - 4(2k) · (-\frac{3}{8}) ＜ 0, \end{cases}$解得$-3 ＜ k ＜ 0$，综上所述，$-3 ＜ k \leq 0$。故选B。

6. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (2025·四川南充高一月考)若关于$x$的不等式$x^2 - (2a + 1)x + 2a ＜ 0$恰有两个整数解,则$a$的取值范围是_.

答案： 6.$[-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 2]$ 解析：关于$x$的不等式$x^2 - (2a + 1)x + 2a ＜ 0$可化为$(x - 1)(x - 2a) ＜ 0$，当$2a ＞ 1$时，解得$1 ＜ x ＜ 2a$，要使解集中恰有两个整数，则$3 ＜ 2a \leq 4$，得$\frac{3}{2} ＜ a \leq 2$；当$2a = 1$时，不等式化为$(x - 1)^2 ＜ 0$，此时无解；当$2a ＜ 1$时，解得$2a ＜ x ＜ 1$，要使解集中恰有两个整数，则$-2 \leq 2a ＜ -1$，得$-1 \leq a ＜ -\frac{1}{2}$。综上，$a$的取值范围是$[-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 2]$。故答案为$[-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 2]$。

7. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ 研究问题:“已知关于$x$的不等式$ax^2 - bx + c ＞ 0$的解集为$(1, 2)$,解关于$x$的不等式$cx^2 - bx + a ＞ 0$”,有如下解法:由$ax^2 - bx + c ＞ 0 \Rightarrow a - b\left(\dfrac{1}{x}\right) + c\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 ＞ 0$.令$y = \dfrac{1}{x}$,则$y \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$,所以不等式$cx^2 - bx + a ＞ 0$的解集为$\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$.类比上述解法,已知关于$x$的不等式$\dfrac{k}{x + a} + \dfrac{x + b}{x + c} ＜ 0$的解集为$(-2, -1) \cup (2, 3)$,则关于$x$的不等式$\dfrac{kx}{ax - 1} + \dfrac{bx - 1}{cx - 1} ＜ 0$的解集为_.

答案： 7.$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ 解析：关于$x$的不等式$\frac{kx + b}{x + a} ＜ \frac{b}{x + c}$的解集为$(-2, -1) \cup (2, 3)$，用$-\frac{1}{x}$替换$x$，不等式可以化为$\frac{k}{-\frac{1}{x} + a} + \frac{b}{-\frac{1}{x} + c} = \frac{kx}{ax - 1} + \frac{bx - 1}{cx - 1} ＜ 0$，因为$-\frac{1}{x} \in (-2, -1) \cup (2, 3)$，所以$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 1$或$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ -\frac{1}{3}$，即不等式$\frac{kx}{ax - 1} + \frac{bx - 1}{cx - 1} ＜ 0$的解集为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$。故答案为$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$。

8. $\boldsymbol{\bigstar\bigstar\bigstar}$ (2025·江苏无锡高一月考)已知关于$x$的不等式$2x^2 + (3a - 7)x + 3 + a - 2a^2 ＜ 0$的解集为$M$.
(1)若$M$中的一个元素是$0$,求实数$a$的取值范围;
(2)若$M = \{x\mid -7 ＜ x ＜ 3\}$,求实数$a$的值.

答案： 8.解：
(1)关于$x$的不等式$2x^2 + (3a - 7)x + 3 + a - 2a^2 ＜ 0$的解集为$M$，若$M$中的一个元素是$0$，把$x = 0$代入不等式，有$3 + a - 2a^2 ＜ 0$，解得$a ＜ -1$或$a ＞ \frac{3}{2}$，所以实数$a$的取值范围为$(-\infty, -1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$。
(2)关于$x$的不等式$2x^2 + (3a - 7)x + 3 + a - 2a^2 ＜ 0$的解集为$M$，若$M = \{x \mid -7 ＜ x ＜ 3\}$，则$-7$和$3$是方程$2x^2 + (3a - 7)x + 3 + a - 2a^2 = 0$的两根，则有$\begin{cases} -7 + 3 = -\frac{3a - 7}{2}, \\ -7 × 3 = \frac{3 + a - 2a^2}{2}, \end{cases}$解得$a = 5$，所以$M = \{x \mid -7 ＜ x ＜ 3\}$时，实数$a$的值为$5$。