《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

11. (2025·辽宁沈阳高一月考)函数$y=\sqrt{\log_{3}(3x - 2)}$的定义域是 (B)

A.$\left(\frac{2}{3}, +\infty\right)$
B.$[1, +\infty)$
C.$\left(\frac{2}{3}, 1\right)$
D.$(0, 1)$

答案： 11.B 解析：要使函数有意义$y=\sqrt{\log_{3}(3x - 2)}$,则需$\begin{cases}3x - 2＞0,\\\log_{3}(3x - 2)\geq0,\end{cases}$可得$3x - 2\geq1$,解得$x\geq1$,故函数$y=\sqrt{\log_{3}(3x - 2)}$的定义域为$[1,+\infty)$.故选B.

12. 已知$\log_{4}(3x)\lt\log_{4}(x + 1)$，则$x$的取值范围为 (D)

A.$\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$
B.$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$
C.$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
D.$\left(0, \frac{1}{2}\right)$

答案： 12.D 解析：因为$y=\log_{4}x$在定义域$(0,+\infty)$上单调递增,若$\log_{4}(3x)＜\log_{4}(x + 1)$,则$0＜3x＜x + 1$,解得$0＜x＜\frac{1}{2}$,所以$x$的取值范围为$(0,\frac{1}{2})$.故选D.

13. (多选)下列大小关系正确的是 (CD)

A.$\log_{\frac{1}{5}}3.6\gt\log_{\frac{1}{5}}2.9$
B.$\log_{a}0.3\lt\log_{a}1.8$
C.$\log_{0.6}1.4\lt\log_{0.8}0.4$
D.$\log_{8}3\lt\log_{8}11$

答案： 13.CD 解析：对于A,因为$y=\log_{\frac{1}{3}}x$在$(0,+\infty)$上单调递减,且$3.6＞2.9$,所以$\log_{\frac{1}{3}}3.6＜\log_{\frac{1}{3}}2.9$,故A错误;对于B,当$a＞1$时,$y=\log_{a}x$在$(0,+\infty)$上单调递增,且$0.3＜1.8$,所以$\log_{a}0.3＜\log_{a}1.8$;当$0＜a＜1$时,$y=\log_{a}x$在$(0,+\infty)$上单调递减,且$0.3＜1.8$,所以$\log_{a}0.3＞\log_{a}1.8$,故B错误;对于C,因为$y=\log_{0.6}x$在$(0,+\infty)$上单调递减,且$1.4＞1$,所以$\log_{0.6}1.4＜\log_{0.6}1=0$.因为$y=\log_{0.8}x$在$(0,+\infty)$上单调递减,且$0.4＜1$,所以$\log_{0.8}0.4＞\log_{0.8}1=0$,所以$\log_{0.6}1.4＜\log_{0.8}0.4$,故C正确;对于D,因为$y=\log_{8}x$在$(0,+\infty)$上单调递增,且$3＜11$,所以$\log_{8}3＜\log_{8}11$,故D正确.故选CD.
重难点拨
对数式比较大小：
底数相同时,根据对数函数单调性比较大小;真数相同时,可以先利用换底公式化为同底的对数式,再根据对数函数的单调性比较大小;也可以根据对数函数的图象高低进行比较;底数和真数均不相同时,通常借助中间量比较大小.

14. 对数函数$y=\log_{(a - 1)}x$，当$x\gt1$时图象在$x$轴上方，则$a$的取值范围为$(2,+\infty)$.

答案： 14.$(2,+\infty)$ 解析：由题意知,当$x＞1$时,$y＞0$,即$\log_{(a - 1)}x＞\log_{(a - 1)}1$,故$y=\log_{(a - 1)}x$在$(1,+\infty)$上为增函数,$a - 1＞1$,解得$a＞2$,即$a$的取值范围为$(2,+\infty)$.故答案为$(2,+\infty)$.
重难点拨
对于对数函数$y=\log_{a}x(a＞0,a\neq1,x＞0)$,其图象过定点$(1,0)$,当$a＞1$时,若$x＞1$则$y＞0$,若$0＜x＜1$则$y＜0$;当$0＜a＜1$时,若$x＞1$则$y＜0$,若$0＜x＜1$则$y＞0$.

15. 设函数$f(x)=\log_{a}(x - 3)+1$（$a\gt0$且$a\neq1$）.
(1)若$f(12)=3$，解不等式$f(x)\gt0$；
(2)若$f(x)$在$[4, 5]$上的最大值与最小值之差为$1$，求$a$的值.

答案： 15.解：
(1)由$f(12)=3$可得$\log_{a}(12 - 3)+1 = 3$,解得$a = 3$,即$f(x)=\log_{3}(x - 3)+1(x＞3)$,则$f(x)＞0$,即$\log_{3}(x - 3)+1＞0$,即$\begin{cases}x＞3,\\x - 3＞\frac{1}{3}.\end{cases}\therefore x＞\frac{10}{3}$,故不等式$f(x)＞0$的解集为$(\frac{10}{3},+\infty)$.
(2)由于$f(x)$在$[4,5]$上的最大值与最小值之差为1,故$\vert\log_{a}1 + 1-(\log_{a}2 + 1)\vert=1$,即$\vert\log_{a}2\vert=1,\therefore a = 2$或$a=\frac{1}{2}$,即$a$的值为2或$\frac{1}{2}$.

16. * (2025·山东菏泽高一月考)下列各对函数中，互为反函数的是 (A)

A.$y = \ln x$，$y = e^{x}$
B.$y=\log_{2}x$，$y=\log_{0.5}x$
C.$y = 2\log_{2}x$，$y = 2^{x}$
D.$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$，$y = 2^{x}$

答案： 16.A 解析：对于A,$y=\ln x$的反函数为$y = e^{x}$,所以A正确.对于B,$y=\log_{2}x$的反函数为$y = 2^{x}$,所以B错误.对于C,$y = 2^{x}$的反函数为$y=\log_{2}x$,所以C错误.对于D,$y = 2^{x}$的反函数为$y=\log_{2}x$,所以D错误.故选A.

17. (2025·福建泉州高一月考)函数$f(x)=e^{x}$(其中$e=2.718·s$为自然对数的底数)的反函数为$g(x)$，则$f\left(\ln\left(\log_{3}e\right)\right)· g(3)=$1.

答案： 17.1 解析：因为$g(x)$为函数$f(x)=e^{x}$的反函数,所以$g(x)=\ln x$,所以$f(\ln(\log_{3}e))=e^{\ln(\log_{3}e)}=\log_{3}e=\frac{1}{\ln 3},g(3)=\ln 3$,所以$f(\ln(\log_{3}e))· g(3)=\frac{1}{\ln 3}·\ln 3 = 1$.故答案为1.

18. * (多选)(2025·江西南昌高一月考)关于函数$f(x)=\log_{3}\left(\frac{2}{x - 1}+1\right)$，下列说法正确的有 (AC)

A.$f(2)=1$
B.$f(x)$的函数图象关于$y$轴对称
C.$f(x)$的函数图象关于原点对称
D.$f(x)$在定义域上单调递减

答案： 18.AC 解析：A选项,$f(2)=\log_{3}3 = 1$,所以A选项正确.BC选项,由$\frac{2}{x - 1}+1=\frac{2+x - 1}{x - 1}=\frac{x + 1}{x - 1}＞0$,解得$x＜-1$或$x＞1$,所以$f(x)$的定义域是$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).f(-x)=\log_{3}(\frac{-x + 1}{-x - 1})=\log_{3}(\frac{x - 1}{x + 1})^{-1}=-\log_{3}\frac{x - 1}{x + 1}=-f(x)$,所以$f(x)$是奇函数,图象关于原点对称,所以B选项错误,C选项正确.D选项,$y=\frac{2}{x - 1}+1$在区间$(-\infty,-1),(1,+\infty)$上单调递减,$y=\log_{3}x$在$(0,+\infty)$上单调递增,根据复合函数的单调性同增异减可知,$f(x)$在$(-\infty,-1),(1,+\infty)$上单调递减,所以D选项错误.故选AC.

19. * (2025·山东菏泽高一月考)函数$f(x)=\log_{2}(2x)·\log_{2}(4x)$的最小值为 (D)

A.$1$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{4}$

答案： 19.D 解析：$f(x)=(\log_{2}x + 1)(\log_{2}x + 2)=(\log_{2}x)^{2}+3\log_{2}x + 2=(\log_{2}x+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geq-\frac{1}{4}$,当$\log_{2}x=-\frac{3}{2}$,即$x = 2^{-\frac{3}{2}}$时,$f(x)$取到最小值$-\frac{1}{4}$.故选D.
易错提醒
对数函数$y=\log_{a}x$自身的定义域为$(0,+\infty)$,在解决与对数函数相关的复合函数问题时,需要先判断函数的定义域,再进行求解.

20. * (2025·河北石家庄高一期末)已知函数$f(x)=\log_{2}(x^{2}-ax + 6)$在$(1, 2)$上单调递减，则实数$a$的取值范围为 (A)

A.$[4, 5]$
B.$[4, 5)$
C.$(-\infty, 4)$
D.$(-\infty, 4]\cup[5, +\infty)$

答案： 20.A 解析：根据复合函数的单调性,要满足题意,则$y=x^{2}-ax + 6$在$(1,2)$上单调递减,且$x^{2}-ax + 6＞0$在$(1,2)$上恒成立,故可得$\begin{cases}\frac{a}{2}\geq2,\\2^{2}-2a + 6\geq0,\end{cases}$解得$4\leq a\leq5$,故$a$的取值范围为$[4,5]$.故选A.