《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

12. ★★ 已知函数$ f(x) = \begin{cases} x + 4, x \leq 1, \\ x + \frac{k}{x}, x ＞ 1, \end{cases} $其中$ k ＞ 0 $.
(1)若$ k = 1,f(m) = \frac{17}{4} $,求实数$ m $的值;
(2)若函数$ f(x) $的值域为$ \mathbf{R} $,求$ k $的取值范围.

答案： 12.解:
(1)当$k = 1$时,$f(x)=\begin{cases}x + 4,x\leq1\\x+\frac{1}{x},x＞1\end{cases}$,由$f(m)=\frac{17}{4}$,可得$\begin{cases}m + 4=\frac{17}{4},m\leq1\\m+\frac{1}{m}=\frac{17}{4},m＞1\end{cases}$,解得$m=\frac{1}{4}$或$m = 4$,所以实数$m$的值为$\frac{1}{4}$或4.
(2)当$x\leq1$时,$f(x)=x + 4$,值域为$(-\infty,5]$,分以下两种情形来讨论:
若$0＜k\leq1$,此时$\sqrt{k}\leq1$,则$f(x)=x+\frac{k}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增,此时$f(x)$的值域为$(k + 1,+\infty)$,所以函数$f(x)$的值域为$(-\infty,5]\cup(k + 1,+\infty)=\mathbb{R}$,所以$0＜k\leq1$满足题意.若$k＞1$,此时$\sqrt{k}＞1$,则$f(x)=x+\frac{k}{x}$在区间$(1,\sqrt{k}]$上单调递减,在区间$(\sqrt{k},+\infty)$上单调递增,此时$f(x)$的值域为$[2\sqrt{k},+\infty)$,所以$f(x)$的值域为$(-\infty,5]\cup[2\sqrt{k},+\infty)$,又由$2\sqrt{k}\leq5$,解得$k\leq\frac{25}{4}$,所以$1＜k\leq\frac{25}{4}$.综上可得，实数$k$的取值范围是$(0,\frac{25}{4}]$.

13. ★★ (2025·浙江宁波高一期中)已知函数$ f(x) = x^2 + a|x - 1| $.
(1)若$ a = 1,x \in [-1,2] $,求$ f(x) $的值域;
(2)若$ f(x) \geq 1 $对$ x \in [-2,2] $恒成立,求实数$ a $的取值范围.

答案： 13.解:
(1)若$a = 1$,则$f(x)=\begin{cases}x^2 - x + 1,-1\leq x＜1\\x^2 + x - 1,1\leq x\leq2\end{cases}$,当$-1\leq x＜1$时,$f(x)\in[\frac{3}{4},3)$;当$1\leq x\leq2$时,$f(x)\in[1,5]$,所以$f(x)$的值域为$[\frac{3}{4},5]$.
(2)若$f(x)\geq1$对$x\in[-2,2]$恒成立,即$a|x - 1|\geq1 - x^2$对$x\in[-2,2]$恒成立;当$x = 1$时，$f(x)\geq1$成立,$a\in R$;当$x\in[-2,1)$时,$a(1 - x)\geq(1 + x)(1 - x)$恒成立,所以$a\geq1 + x$恒成立,所以$a\geq2$;当$x\in(1,2]$时,$a|x - 1|\geq1 - x^2$恒成立,则$a(x - 1)\geq(1 + x)(1 - x)$恒成立,所以$a\geq-(1 + x)$恒成立,所以$a\geq-2$;综上可得$a\geq2$.故$a$的取值范围为$[2,+\infty)$.

14. ★★ (2025·河南驻马店高一期中)已知函数$ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 4} - 2x(x \geq 0) $.
(1)求$ f(0) $的值;
(2)判断$ f(x) $的单调性,并用定义法进行证明;
(3)证明:$ 0 ＜ f(x) \leq 3 $.

答案： 14.解:
(1)$f(0)=1+\sqrt{4}-0=3$.
(2)$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减.证明如下:取$\forall x_1,x_2\in[0,+\infty)$,且$x_1＜x_2$,$f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1^2 + 1}+\sqrt{x_1^2 + 4}-2x_1-(\sqrt{x_2^2 + 1}+\sqrt{x_2^2 + 4}-2x_2)=-2(x_1 - x_2)+\frac{x_1^2 - x_2^2}{\sqrt{x_1^2 + 1}+\sqrt{x_2^2 + 1}}+\frac{x_1^2 - x_2^2}{\sqrt{x_1^2 + 4}+\sqrt{x_2^2 + 4}}=(x_1 - x_2)·(\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2 + 1}+\sqrt{x_2^2 + 1}}+\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2 + 4}+\sqrt{x_2^2 + 4}}-2)$.因为$x_1 - x_2＜0,0\leq x_1＜\sqrt{x_1^2 + 1},0＜x_2＜\sqrt{x_2^2 + 1}$,故$0＜x_1 + x_2＜\sqrt{x_1^2 + 1}+\sqrt{x_2^2 + 1}＜\sqrt{x_1^2 + 4}+\sqrt{x_2^2 + 4}$,即$0＜\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2 + 1}+\sqrt{x_2^2 + 1}}＜1,0＜\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2 + 4}+\sqrt{x_2^2 + 4}}＜1$,则$\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2 + 1}+\sqrt{x_2^2 + 1}}+\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2 + 4}+\sqrt{x_2^2 + 4}}-2＜0$,故$f(x_1)-f(x_2)＞0$,即$f(x_1)＞f(x_2)$,所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减.
(3)由
(2)可得$f(x)\leq f(0)=3$,又因为$f(x)=\sqrt{x^2 + 1}-x+\sqrt{x^2 + 4}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}+x}+\frac{4}{\sqrt{x^2 + 4}+x}$,故$f(x)＞0$,故$0＜f(x)\leq3$.

1. ★★★ (2025·江西抚州临川一中高一期中)已知$ m \in \mathbf{R} $,函数$ f(x) = \left| \frac{x + 3}{x - 1} - m \right| + m $在$ x \in [2,5] $上的最大值是5,则$ m $的取值范围是 (A)


A.$ \left( -\infty,\frac{7}{2} \right] $
B.$ \left( -\infty,\frac{5}{2} \right] $
C.$ [2,5] $
D.$ [2, +\infty) $

答案： 1.A解析:因为$y=\frac{x + 3}{x - 1}=1+\frac{4}{x - 1}$在$x\in[2,5]$上单调递减，所以$2\leq\frac{x + 3}{x - 1}\leq5$;若$m\leq2$,则$f(x)=\frac{x + 3}{x - 1}$的最大值为5,符合题意;若$2＜m\leq5$,$f(x)$的最大值为$f(2)$与$f(5)$中较大的,由$f(2)=f(5)$,即$|5 - m|+m=|2 - m|+m$,解得$m=\frac{7}{2}$,显然当$2＜m\leq\frac{7}{2}$时$f(x)$的最大值为5,当$m＞\frac{7}{2}$时,$f(x)$的最大值不为定值.综上可得，当$m\leq\frac{7}{2}$时，$f(x)$在$x\in[2,5]$上的最大值是5.故选A.

2. ★★★ (2025·山东聊城高一月考)已知函数$ f(x) = x + \frac{4}{x},x \in [1,2] $,$ g(x) = ax + 2a - 1,x \in [-1,3] $.对于任意的$ x_1 \in [1,2] $,存在$ x_2 \in [-1,3] $,使得$ f(x_1) \geq g(x_2) $,则$ a $的取值范围是 $(-\infty,5]$.

答案： 2.$(-\infty,5]$解析:由题意知,对于任意的$x_1\in[1,2]$,存在$x_2\in[-1,3]$,使得$f(x_1)\geq g(x_2)$,即需满足$f(x)_{\min}\geq g(x)_{\min}$,函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$在$[1,2]$上单调递减,所以$f(x)_{\min}=f(2)=4$,当$a＞0$时,$g(x)=ax + 2a - 1$在区间$[-1,3]$上单调递增,则$g(x)_{\min}=a - 1$,所以$4\geq a - 1$,解得$a\leq5$,所以$0＜a\leq5$,当$a＜0$时,$g(x)=ax + 2a - 1$在区间$[-1,3]$上单调递减,则$g(x)_{\min}=5a - 1$,所以$4\geq5a - 1$,解得$a\leq1$,所以$a＜0$,当$a = 0$时,$g(x)=-1＜4$,符合题意.综上,$a$的取值范围是$(-\infty,5]$.故答案为$(-\infty,5]$.