《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

11. (2025·江西南昌高一月考)已知集合$A = \{1,2,3,4,5\}$,$B = \{(x,y)\mid x\in A,y\in A,x - y\in A\}$,则$B$中所含元素的个数为(D)

A.3
B.6
C.8
D.10

答案： 11 D 解析：列举法得出集合$B = \{(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)\}$，共含10个元素.故选D.

12. 将集合“奇数的全体”用描述法表示为:
①$\{x\mid x = 2n - 1,n\in\mathbf{N}^{*}\}$;②$\{x\mid x = 2n + 1,n\in\mathbf{Z}\}$;
③$\{x\mid x = 2n - 1,n\in\mathbf{Z}\}$;④$\{x\mid x = 2n + 1,n\in\mathbf{R}\}$;
⑤$\{x\mid x = 2n + 5,n\in\mathbf{Z}\}$.
其中正确的是②③⑤. (填序号)

答案： 12. ②③⑤ 解析：能够表示奇数特征性质的可以是$x = 2n + 1$，$n\in\mathbf{Z}$；$x = 2n - 1$，$n\in\mathbf{Z}$；$x = 2n + 5$，$n\in\mathbf{Z}$，所以填②③⑤.

13. (2025·湖南长沙高一期中)(1)已知集合$A = \{x\in\mathbf{N}\mid y=\frac{12}{x + 3}\in\mathbf{Z}\}$,试用列举法表示集合$A$;
(2)已知集合$B = \{y\in\mathbf{Z}\mid y=\frac{12}{x + 3},x\in\mathbf{N}\}$,试用列举法表示集合$B$.

答案： 13. 解：
(1)由$x\in\mathbf{N},y=\frac{12}{x + 3}\in\mathbf{Z}$，知$x + 3$可为3,4,6,12，即$x$为0,1,3,9，所以集合$A$用列举法表示为$\{0,1,3,9\}$.
(2)因为$y=\frac{12}{x + 3}\in\mathbf{Z}$且$x\in\mathbf{N}$，所以$x = 0,1,3,9$，则相应$y$的值为4,3,2,1，所以集合$B$用列举法表示为$\{1,2,3,4\}$.

14. * (2025·吉林东北师大附中高一月考)下列表示同一个集合的是 (B)

A.$M = \{(1,2)\}$,$N = \{(2,1)\}$
B.$M = \{1,2\}$,$N = \{2,1\}$
C.$M = \{x\mid y = \sqrt{x - 1}\}$,$N = \{y\mid y = \sqrt{x - 1}\}$
D.$M = \{(x,y)\mid \frac{y}{x}=1\}$,$N = \{(x,y)\mid y = x\}$

答案： 14 B 解析：对于A，$(1,2)$与$(2,1)$不同，$M,N$不是同一个集合，故A错误；对于B，根据集合元素的无序性知$\{1,2\}=\{2,1\}$，故B正确；对于C，$M = \{x\vert x\geqslant 1\}$，$N = \{y\vert y\geqslant 0\}$，$M,N$不是同一个集合，故C错误；对于D，$M = \{(x,y)\vert y = x$且$x\neq 0\}$，$N = \{(x,y)\vert y = x\}$，故$M,N$不是同一个集合，故D错误.故选B.

15. (2025·江苏南京金陵中学高一月考)设$a,b\in\mathbf{R}$,集合$A = \{0,a\}$,集合$B = \{-1,b\}$,若$A = B$,则$a + b$的值为 (C)

A.1
B.0
C.-1
D.-2

答案： 15 C 解析：因为$A = B$，所以$b = 0$，$a = - 1$，故$a + b=-1$.故选C.

16. * 下列四个集合中,是空集的是 (D)

A.$\{x\mid x + 3 = 3\}$
B.$\{(x,y)\mid y^{2} = -x^{2},x,y\in\mathbf{R}\}$
C.$\{x\mid x^{2}\leqslant0\}$
D.$\{x\mid x^{2}-x + 1 = 0,x\in\mathbf{R}\}$

答案： 16 D 解析：选项A，$\{x\vert x + 3 = 3\}=\{0\}$；选项B，$\{(x,y)\vert y^{2}=-x^{2},x,y\in\mathbf{R}\}=\{(0,0)\}$；选项C，$\{x\vert x^{2}\leqslant 0\}=\{0\}$；选项D，$x^{2}-x + 1 = 0$，$\Delta=1 - 4=-3＜0$，方程无解，$\therefore\{x\vert x^{2}-x + 1 = 0,x\in\mathbf{R}\}=\varnothing$.故选D.

17. * (多选)下列集合是无限集的是(ABD)

A.$\{x\mid x$是能被3整除的数$\}$
B.$\{x\in\mathbf{R}\mid 0 ＜ x ＜ 2\}$
C.$\{(x,y)\mid 2x + y = 5,x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}\}$
D.$\{x\mid x$是面积为1的菱形$\}$

答案： 17 ABD 解析：对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集；对于B，满足$0＜x＜2$的实数有无数个，所以集合$\{x\in\mathbf{R}\vert0＜x＜2\}$为无限集；对于C，该集合可表示为$\{(0,5),(1,3),(2,1)\}$，为有限集；对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集.故选ABD.

18. * (2025·江苏泰州高一月考)已知集合$A = \{a - 2,a^{2}+4a,10\}$,若$-3\in A$,则实数$a$的值为 (A)

A.-3
B.1
C.-3或-1
D.无解

答案： 18 A 解析：因为$-3\in A$，所以$a - 2=-3$或$a^{2}+4a=-3$.当$a - 2=-3$，即$a=-1$时，$A=\{-3,-3,10\}$，不符合集合元素的互异性，故$a=-1$不符合题意，舍去；当$a^{2}+4a=-3$，即$a=-1$(舍去)或$-3$时，$A=\{-5,-3,10\}$，符合题意，故$a$的值为$-3$.故选A
四易错提醒
集合元素具有互异性，在用列举法表示集合时，需要保证列出的元素都是互不相同的.

19. * (2025·江苏南通高一月考)已知集合$A = \{t\mid 2t - 3a + 4 ＞ 0\}$,若$2\notin A$,则$a$的取值范围为 (A)

A.$\{a\mid a\geqslant\frac{8}{3}\}$
B.$\{a\mid a ＞ \frac{8}{3}\}$
C.$\{a\mid a\leqslant\frac{8}{3}\}$
D.$\{a\mid a ＜ \frac{8}{3}\}$

答案： 19 A 解析：由集合$A=\{t\vert2t - 3a + 4＞0\}$，且$2\notin A$，可得$2×2 - 3a + 4\leqslant0$，解得$a\geqslant\frac{8}{3}$，即实数$a$的取值范围为$\{a\vert a\geqslant\frac{8}{3}\}$.故选A.

20. * (2025·江苏无锡高一月考)若集合$A = \{x\mid mx^{2}+2x + m = 0,m\in\mathbf{R}\}$中有且只有一个元素,则$m$值的集合是 (D)

A.$\{-1\}$
B.$\{0\}$
C.$\{-1,1\}$
D.$\{-1,0,1\}$

答案： 20 D 解析：当$m = 0$时，$A=\{x\vert2x = 0\}=\{0\}$，故$m = 0$符合题意；当$m\neq 0$时，由题意知$\Delta=4 - 4m^{2}=0$，解得$m=\pm1$，符合题意，满足题意的$m$值的集合是$\{-1,0,1\}$.故选D.

21. * (2025·江苏淮安高一期中)若集合$A = \{x\mid x^{2}+3x + a = 0\}$为空集,则实数$a$的取值范围是$\left\{a\vert a＞\frac{9}{4}\right\}$.

答案： 21$\left\{a\vert a＞\frac{9}{4}\right\}$ 解析：集合$A=\{x\vert x^{2}+3x + a = 0\}$为空集，故$\Delta=9 - 4a＜0$，$\therefore a＞\frac{9}{4}$.故答案为$\left\{a\vert a＞\frac{9}{4}\right\}$