《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

18. (17分)(2025·江苏泰州高一期中)已知$ A = [1,5] $,$ B = \{ x|ax - 1\geqslant0\} $.
(1)若$ a = \frac{1}{2} $,求$ A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B) $;
(2)从①$ B\cup(\complement_{\mathbf{R}}A)=\mathbf{R} $;②$ A\cap B = A $;③$ A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B)=\varnothing $这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并进行解答.
问题:若,求实数$ a $的取值范围.

答案： 18.解：
(1)当$a=\frac{1}{2}$时，由$\frac{1}{2}x - 1\geqslant0$得$x\geqslant2$，即$B=[2,+\infty)$，$\therefore\complement_{R}B=(-\infty,2)$，$\therefore A\cap(\complement_{R}B)=[1,2)$.
(2)若选条件①，$\complement_{R}A=(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$，若$B\cup(\complement_{R}A)=\mathrm{R}$，则$[1,5]\subseteq B$，即$A\subseteq B$.当$a = 0$时，$B=\varnothing$，不符合题意；当$a＞0$时，$B=\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$，则$\frac{1}{a}\leqslant1$，解得$a\geqslant1$；当$a＜0$时，$B=\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]$，则$\frac{1}{a}\geqslant5$，此时无解.综上所述，实数$a$的取值范围为$[1,+\infty)$；
若选条件②，$\because A\cap B=A$，$\therefore A\subseteq B$.当$a = 0$时，$B=\varnothing$，不符合题意；当$a＞0$时，$B=\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$，则$\frac{1}{a}\leqslant1$，解得$a\geqslant1$；当$a＜0$时，$B=\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]$，则$\frac{1}{a}\geqslant5$，此时无解.综上所述，实数$a$的取值范围为$[1,+\infty)$；
若选条件③，$\because A\cap(\complement_{R}B)=\varnothing$，$\therefore A\subseteq B$.当$a = 0$时，$B=\varnothing$，不符合题意；当$a＞0$时，$B=\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$，则$\frac{1}{a}\leqslant1$，解得$a\geqslant1$；当$a＜0$时，$B=\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]$，则$\frac{1}{a}\geqslant5$，此时无解.综上所述，实数$a$的取值范围为$[1,+\infty)$.

19. (17分)(2025·江苏南通海安高级中学高一月考)已知集合$ A $为非空数集,定义:$ S = \{ x|x = a + b,a,b\in A\} $,$ T = \{ x|x = |a - b|,a,b\in A\} $
(1)若集合$ A = \{ 1,4\} $,直接写出集合$ S,T $;
(2)若集合$ A = \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\} $,$ x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}\lt x_{4} $,且$ T = A $,求证:$ x_{1} + x_{4} = x_{2} + x_{3} $;
(3)若集合$ A\subseteq \{ x|0\leqslant x\leqslant2024,x\in \mathbf{N}\} $,$ S\cap T = \varnothing $,记$ |A| $为集合$ A $中元素的个数,求$ |A| $的最大值.

答案： 19.
(1)解：由题设中$S$，$T$的定义可得，$S=\{2,5,8\}$，$T=\{0,3\}$.
(2)证明：取$a=b=x_{1}$，则$|a - b|=0\in T$，而$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$，且$T = A$，故$x_{1}=0$，又$0＜x_{4}-x_{3}＜x_{4}-x_{2}＜x_{4}$，而$x_{4}-x_{3}$，$x_{4}-x_{2}$均为$T$中元素且非零，故$x_{4}-x_{3}=x_{2}$，即$x_{4}=x_{3}+x_{2}$，故$x_{1}+x_{4}=x_{2}+x_{3}$.
(3)解：设$A=\{a_{1},a_{2},a_{3},·s,a_{k}\}$，其中$1\leqslant k\leqslant2025$，$k\in\mathrm{Z}$，不妨设$a_{1}＜a_{2}＜a_{3}＜·s＜a_{k}$，则$2a_{1}＜a_{1}+a_{2}＜a_{1}+a_{3}＜·s＜a_{2}+a_{k}＜a_{3}+a_{k}＜·s＜a_{k - 1}+a_{k}＜2a_{k}$，所以$|S|\geqslant2k - 1$.因为$a_{1}-a_{1}＜a_{2}-a_{1}＜·s＜a_{k}-a_{1}$，$|T|\geqslant k$，又因为$S\cap T=\varnothing$，所以$|S\cup T|\geqslant3k - 1$，$S\cup T$中最小的元素为$0$，最大的元素为$2a_{k}$，$|S\cup T|\leqslant2a_{k}+1$，所以$3k - 1\leqslant2a_{k}+1\leqslant2×2024 + 1$ $(k\in\mathrm{N}^{*})$，$k\leqslant1350$，实际上当$A=\{675,676,677,·s,2024\}$时满足题意，证明如下：
设$A=\{m,m + 1,·s,2024\}$，$m\in\mathrm{N}$，则$S=\{2m,2m + 1,2m + 2,·s,4048\}$，$T=\{0,1,2,·s,2024 - m\}$，依题意有$2024 - m＜2m$，解得$m＞\frac{2024}{3}$，故$m$的最小值为$675$，于是当$m = 675$时，$A$中元素最多，即$A=\{675,676,677,·s,2024\}$时满足题意.综上所述，集合$A$中元素的个数的最大值为$1350$.