《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (2025·江苏徐州高一期中)已知$a,b\in\mathbf{R}$，则“$a,b$都是偶数”是“$a + b$是偶数”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 1.A 解析:若a,b都是偶数，则a+b是偶数，充分性成立，但a+b是偶数，a,b都是奇数或都是偶数，必要性不成立，故“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件.故选A.

2. (2025·浙江湖州高一月考)设$a,b,c$分别是$\triangle ABC$的三条边，则“$\triangle ABC$为直角三角形”是“$a^{2}+b^{2}=c^{2}$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 2.B 解析:当a=5,b=4,c=3时，易知△ABC是直角三角形，但$a^{2}+b^{2} \neq c^{2}$，所以充分性不满足；根据勾股定理，由$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，得△ABC是直角三角形，所以必要性可证.故选B.

3. (2025·江苏镇江高一期中)梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号.其中“国强”是“少年强”的(B)

A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 3.B 解析:少年强则国强，国强不一定少年强，所以“国强”是“少年强”的必要条件.故选B.

4. (2025·山东菏泽高一月考)若集合$A = \{1,m^{2}\}$，$B = \{3,9\}$，则“$m = 3$”是“$A\cap B = \{9\}$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 4.A 解析:若m=3，则$A = \{ 1,9\}$，$B = \{ 3,9\}$，$A \cap B = \{ 9\}$，则“m=3”是“$A \cap B = \{ 9\}$”的充分条件；若$A \cap B = \{ 9\}$，则$m^{2}=9,m= \pm 3$，则$A \cap B = \{ 9\}$时，m=3不一定成立，则“m=3”是“$A \cap B = \{ 9\}$”的充分不必要条件.故选A.

5. (多选)(2025·江苏扬州高一月考)“$-\dfrac{1}{2}\lt x\lt 2$”的一个充分不必要条件可以是(BC)

A.$x\gt - 1$
B.$0\lt x\lt 1$
C.$-\dfrac{1}{2}\lt x\lt \dfrac{1}{2}$
D.$x\lt 2$

答案： 5.BC 解析:设$M = \{ x \mid -\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2\}$，选项对应的集合为N，因为选项是“$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$”的一个充分不必要条件，所以N是M的真子集，B,C符合题意.故选BC.

6. (2025·广东佛山高一期中)方程$ax^{2}+5x + 4 = 0(a\neq0)$有两个异号实根的一个充要条件是(A)

A.$a\lt 0$
B.$a\gt 0$
C.$a\lt 2$
D.$a\lt - 1$

答案： 6.A 解析:由题知$\begin{cases} 25 - 16a ＞ 0, \\ \frac{4}{a} ＜ 0, \end{cases}$解得a＜0.故选A.

7. (2025·山东泰安高一月考)写出“$x\geq0$”的一个必要不充分条件：x＞-1(答案不唯一).

答案： 7.x＞-1(答案不唯一) 解析:若x＞-1，则不一定有x≥0；若x≥0，则x＞-1，所以x＞-1是x≥0的必要不充分条件，即x≥0的一个必要不充分条件是x＞-1.故答案为x＞-1(答案不唯一).

8. 求证：$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$是$\triangle ABC$是等边三角形的充要条件.（这里$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边边长）

答案： 8.证明:先证明充分性:由$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc$，得$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=2ab + 2ac + 2bc$，整理得$(a - b)^{2}+(a - c)^{2}+(b - c)^{2}=0$，所以a=b=c，即△ABC是等边三角形.然后证明必要性:由△ABC是等边三角形，得a=b=c，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc$.综上所述，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc$是△ABC是等边三角形的充要条件.

9. * (2025·福建厦门高一期中)若“$x = m$”是“$x^{2}=4$”的充分条件，则$m$的一个值可以是(B)

A.0
B.2
C.4
D.16

答案： 9.B 解析:由$x^{2}=4$，解得$x_{1}=2,x_{2}=-2$，又“x=m”是“$x^{2}=4$”的充分条件，所以m=2或m=-2.故选B.

10. * (2025·福建莆田高一期中)已知$A = (-\infty,a]$，$B = (-\infty,3)$，且$x\in A$是$x\in B$的必要不充分条件，则$a$的取值范围是$[3,+\infty)$.

答案： 10.$[3,+\infty)$ 解析:因为$x \in A$是$x \in B$的必要不充分条件，所以$B \subsetneqq A$.又$A=(-\infty,a]$，$B=(-\infty,3)$，所以a≥3.故答案为$[3,+\infty)$.