《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (多选)(2025·江苏泰州高一月考)下列
说法正确的是 (AB)

A.$240^{\circ}=\frac{4}{3}\pi$
B.1弧度的角比$1^{\circ}$的角大
C.用弧度制量角时,角的大小与圆的半径
有关
D.扇形的周长为6厘米,面积为2平方厘米,
则扇形的圆心角的弧度数为4

答案： 1. AB 解析：对于 A，$240° = \frac{240}{180}\pi = \frac{4}{3}\pi$，故 A 正确；对于 B，$1 rad = \frac{180°}{\pi} ＞ 1°$，故 B 正确；对于 C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故 C 错误；对于 D，设扇形的圆心角为 $\alpha$，半径为 R，因为扇形的周长为 6 厘米，面积为 2 平方厘米，则有$\begin{cases} \alpha R + 2R = 6, \\ \frac{1}{2}\alpha R^2 = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} R = 2, \\ \alpha = 1 \end{cases}$或$\begin{cases} R = 1, \\ \alpha = 4, \end{cases}$即扇形的圆心角的弧度数为 4 或 1，故 D 错误.故选 AB.

2. * 现行的二十四节气是根据地球在黄道(即
地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定
的,每个节气对应地球在黄道上运动$15^{\circ}$所到达
的一个位置,根据描述,从立冬到立春对应地球
在黄道上运动所对圆心角的弧度数为 (D)


A.$-\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{5\pi}{12}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 2. D 解析：根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为$6 × 15° = 90°$，即弧度数为$\frac{\pi}{2}$.故选 D.

3. * (多选)若角$\alpha$是第二象限角,则下列各
角中是第三象限角的是 (AC)

A.$-\alpha$
B.$\pi-\alpha$
C.$\alpha-\frac{3\pi}{2}$
D.$2\alpha$

答案： 3. AC 解析：因为角 $\alpha$ 是第二象限角，所以$\frac{\pi}{2} + 2k\pi ＜ \alpha ＜ 2k\pi + \pi, k \in \mathbf{Z}$，对于 A，$-\pi - 2k\pi ＜ -\alpha ＜ -2k\pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$，故$-\alpha$是第三象限角，故 A 正确；对于 B，$-2k\pi ＜ \pi - \alpha ＜ -2k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$，故$\pi - \alpha$是第一象限角，故 B 不正确；对于 C，$-\pi + 2k\pi ＜ \alpha - \frac{3\pi}{2} ＜ 2k\pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$，故$\alpha - \frac{3\pi}{2}$是第三象限角，故 C 正确；对于 D，$\pi + 4k\pi ＜ 2\alpha ＜ 4k\pi + 2\pi, k \in \mathbf{Z}$，故$2\alpha$是第三象限角或 y 轴负半轴上的角或第四象限角，故 D 不正确.故选 AC.

4. * (2025·江苏无锡高一月考)集合
$\{\alpha|145^{\circ}+k·180^{\circ}\leq\alpha\leq90^{\circ}+k·180^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$中角$\alpha$
的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是(C)

答案： 4. C 解析：当$k = 2n, n \in \mathbf{Z}$时，$n · 360° + 45° \leq \alpha \leq n · 360° + 90°, n \in \mathbf{Z}$.此时角 $\alpha$ 的终边位于第一象限靠近 y 轴的区域；当$k = 2n + 1, n \in \mathbf{Z}$时，$n · 360° + 225° \leq \alpha \leq n · 360° + 270°, n \in \mathbf{Z}$.此时角 $\alpha$ 的终边位于第三象限靠近 y 轴的区域.故选 C.

5. * (多选)(2025·湖南衡阳高一期末)如果角
$\alpha$与角$(\gamma+45^{\circ})$的终边重合,角$\beta$与角$(\gamma-45^{\circ})$的
终边重合,那么$\alpha-\beta$的可能值为 (ACD)

A.$90^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$450^{\circ}$
D.$3\ 330^{\circ}$

答案： 5. ACD 解析：由条件知$\alpha = \gamma + 45° + k_1 · 360° (k_1 \in \mathbf{Z}), \beta = \gamma - 45° + k_2 · 360° (k_2 \in \mathbf{Z})$，将以上两式相减消去 $\gamma$，得$\alpha - \beta = (k_1 - k_2) · 360° + 90° = k · 360° + 90° (k_1, k_2 \in \mathbf{Z}, k_1 - k_2 = k)$，当$k = 0$时，$\alpha - \beta = 90°$；当$k = 1$时，$\alpha - \beta = 450°$；当$k = 9$时，$\alpha - \beta = 3330°$.故选 ACD.

6. * (2025·广东东莞高一期中)已知一个扇
形的周长为20,则当该扇形的面积最大时,其
圆心角的弧度为 (B)

A.1
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 6. B 解析：设扇形所在圆的半径为 $r$，则扇形弧长$l = 20 - 2r, 0 ＜ r ＜ 10$，于是扇形的面积$S = \frac{1}{2}rl = r(10 - r) = -(r - 5)^2 + 25$，即当$r = 5$时，$S_{\max} = 25$，此时$l = 10$，所以所求圆心角的弧度数为$\frac{l}{r} = 2$.故选 B.

7. * (2025·天津河东区高一月考)高考数学
考试时间是2小时,那么在这场考试中钟表的
时针转过的弧度数为 $-\frac{\pi}{3}$.

答案： 7. $-\frac{\pi}{3}$ 解析：时间经过 2 小时，钟表的时针按顺时针方向转过$60°$，故时针转过的弧度数为$-\frac{\pi}{3}$.故答案为$-\frac{\pi}{3}$

8. * (2025·四川泸州高一期末)“数摺聚清
风,一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪
下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为$S_{1}$,
其圆心角为$\theta$,圆面中剩余部分的面积为$S_{2}$,
当$S_{1}$与$S_{2}$的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,扇面为“美观扇
面”.若扇面为“美观扇面”,扇形的半径
$R=20\ \mathrm{cm}$,则此时的扇形面积为 $200(3 - \sqrt{5})\pi$$\mathrm{cm}^{2}$.

答案： 8. $200(3 - \sqrt{5})\pi$ 解析：由题意知$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，即$\frac{S_1}{\pi R^2 - S_1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，即$\frac{S_1}{400\pi - S_1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，解得$S_1 = \frac{400(\sqrt{5} - 1)\pi}{\sqrt{5} + 1} = 200(3 - \sqrt{5})\pi (cm^2)$.故答案为$200(3 - \sqrt{5})\pi$.

9. * 如图,已知长为$\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$,宽为$1\ \mathrm{dm}$的长方
体木块在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第四次
时被小木块挡住,此时长方体木块底面与桌面
所成的角为$\frac{\pi}{6}$,求点$A$走过的路程为 $\frac{9 + 2\sqrt{3}}{6}\pi dm$.

答案：
9. $\frac{9 + 2\sqrt{3}}{6}\pi dm$ 解析：如图，第一次是以 B 为旋转中心，以$BA = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1} = 2$为半径旋转$90°$，此次点 A 走过的路径是$\frac{\pi}{2} × 2 = \pi$，第二次是以 C 为旋转中心，以$CA_1 = 1$为半径旋转$90°$，此次点 A 走过的路径是$\frac{\pi}{2} × 1 = \frac{\pi}{2}$，第三次是以 D 为旋转中心，以$DA_2 = \sqrt{3}$为半径旋转$60°$，此次点 A 走过的路径是$\frac{\pi}{3} × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$，$\therefore$点 A 三次共走过的路径是$\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = \frac{9 + 2\sqrt{3}}{6}\pi (dm)$.故答案为$\frac{9 + 2\sqrt{3}}{6}\pi dm$.