《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2022·天津)“$x$为整数”是“$2x + 1$为整数”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1. A 解析：当$x$为整数时,$2x + 1$必为整数;当$2x + 1$为整数时，$x$不一定为整数，例如当$2x + 1 = 2$时，$x = \frac{1}{2}$. 所以“$x$为整数”是“$2x + 1$为整数”的充分不必要条件. 故选A.

2. (2023·天津)已知$a, b \in \mathbf{R}$，“$a^2 = b^2$”是“$a^2 + b^2 = 2ab$”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 2. B 解析：由$a^{2}=b^{2}$，得$a = \pm b$，当$a = -b \neq 0$时，$a^{2}+b^{2}=2ab$不成立，充分性不成立；由$a^{2}+b^{2}=2ab$，则$(a - b)^{2}=0$，即$a = b$，显然$a^{2}=b^{2}$成立，必要性成立，所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件. 故选B.

3. (天津高考)已知$a \in \mathbf{R}$，则“$a ＞ 6$”是“$a^2 ＞ 36$”的 ()

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A

4. * (2023·北京)若$xy \neq 0$，则“$x + y = 0$”是“$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} = -2$”的 ()

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C

5. * (湖北高考)若非空集合$A, B, C$满足$A \cup B = C$，且$B$不是$A$的子集，则 ()

A.“$x \in C$”是“$x \in A$”的充分条件但不是必要条件
B.“$x \in C$”是“$x \in A$”的必要条件但不是充分条件
C.“$x \in C$”是“$x \in A$”的充分条件
D.“$x \in C$”既不是“$x \in A$”的充分条件也不是“$x \in A$”的必要条件

答案： B

6. * (全国高考)设命题$p$：$\exists n \in \mathbf{N}, n^2 ＞ 2^n$，则$\neg p$为 ()

A.$\forall n \in \mathbf{N}, n^2 ＞ 2^n$
B.$\exists n \in \mathbf{N}, n^2 \leq 2^n$
C.$\forall n \in \mathbf{N}, n^2 \leq 2^n$
D.$\exists n \in \mathbf{N}, n^2 = 2^n$

答案： C

7. * (四川高考)设$x \in \mathbf{Z}$，集合$A$是奇数集，集合$B$是偶数集.若命题$p$：$\forall x \in A, 2x \in B$，则 ()

A.$\neg p$：$\forall x \in A, 2x \notin B$
B.$\neg p$：$\forall x \notin A, 2x \notin B$
C.$\neg p$：$\exists x \notin A, 2x \in B$
D.$\neg p$：$\exists x \in A, 2x \notin B$

答案： D

8. (湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ()

A.任意一个有理数，它的平方是有理数
B.任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.存在一个有理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案： B

9. * (浙江高考)命题“$\forall x \in \mathbf{R}, \exists n \in \mathbf{N}^*$，使得$n \geq x^2$”的否定形式是 ()

A.$\forall x \in \mathbf{R}, \exists n \in \mathbf{N}^*$，使得$n ＜ x^2$
B.$\forall x \in \mathbf{R}, \forall n \in \mathbf{N}^*$，使得$n ＜ x^2$
C.$\exists x \in \mathbf{R}, \exists n \in \mathbf{N}^*$，使得$n ＜ x^2$
D.$\exists x \in \mathbf{R}, \forall n \in \mathbf{N}^*$，使得$n ＜ x^2$

答案： D

10. * (2024·新课标全国Ⅱ)已知命题$p$：$\forall x \in \mathbf{R}, |x + 1| ＞ 1$；命题$q$：$\exists x ＞ 0, x^3 = x$，则 ()

A.$p$和$q$都是真命题
B.$\neg p$和$q$都是真命题
C.$p$和$\neg q$都是真命题
D.$\neg p$和$\neg q$都是真命题

答案： B