《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (2025·江苏南通如皋中学高一月考)函数$ y = 2\sin\left(-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right) $的最小正周期是(C)

A.$ \pi $
B.$ -4\pi $
C.$ 4\pi $
D.$ 2\pi $

答案： 1. C 解析：由$y = 2\sin\left(-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$，所以$T=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=$
$4\pi$.故选C.

2. 函数$ f(x)=\tan\frac{\pi}{8}x $的最小正周期为(B)

A.$ 16 $
B.$ 8 $
C.$ 16\pi $
D.$ 8\pi $

答案： 2. B 解析:$f(x)$的最小正周期为$\frac{\pi}{\frac{\pi}{8}}=8$.故选B.
方法总结
$y = A\sin(\omega x + \varphi)$和$y = A\cos(\omega x + \varphi)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{\omega}$；
$y = A·\tan(\omega x + \varphi)$的最小正周期为$\frac{\pi}{|\omega|}$

3. (多选)(2025·河北邯郸高一期末)下列函数中最小正周期为$ \pi $的是(ABD)

A.$ y = |\cos x| $
B.$ y = \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $
C.$ y = \cos|x| $
D.$ y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $

答案： 3. ABD 解析：对于选项A，设$y = |\cos x|$的最小正周期为$T$，
则$|\cos(x + T)| = |\cos x|$，令$x = \frac{\pi}{2}$，则$\cos(\frac{\pi}{2} + T)=0$，所以
$\frac{\pi}{2} + T = \frac{\pi}{2} + k\pi(k \in \mathbf{N}^*)$，解得$T = k\pi(k \in \mathbf{N}^*)$，又当$k = 1$
时，$|\cos(x + \pi)| = | - \cos x| = |\cos x|$，所以$y = |\cos x|$的最
小正周期为$\pi$，故A正确；
对于选项B，因为函数$y = \tan x$的最小正周期为$\pi$，
所以函数$y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$的最小正周期为$\pi$，故B正确；
对于选项C，因为$y = \cos|x| = \cos x$，所以函数$y = \cos|x|$的最
小正周期为$2\pi$，故C错误；
对于选项D，函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$，故
D正确.故选ABD.

4. 下列说法正确的是(A)

A.当$ x = \frac{\pi}{2} $时,$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \neq \sin x $,所以$ \frac{\pi}{6} $不是$ f(x) = \sin x $的周期
B.当$ x = \frac{5\pi}{12} $时,$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin x $,所以$ \frac{\pi}{6} $是$ f(x) = \sin x $的一个周期
C.因为$ \sin(\pi - x) = \sin x $,所以$ \pi $是$ f(x) = \sin x $的一个周期
D.因为$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x $,所以$ \frac{\pi}{2} $是$ f(x) = \cos x $的一个周期

答案： 4. A 解析：根据周期函数的定义可知，$\frac{\pi}{6}$不是$f(x)=\sin x$的
周期，故A正确;当$x = 0$时，$\sin(x + \frac{\pi}{6})\neq\sin x$，故$\frac{\pi}{6}$不
是$f(x)=\sin x$的周期，故B错误;$\sin(\pi - x)=\sin x\neq\sin(-x)$，故
$\pi$不是$f(x)=\sin x$的一个周期，故C错误;$\cos(\frac{\pi}{2} - x)=$
$\sin x\neq\cos(-x)$，故$\frac{\pi}{2}$不是$f(x)=\cos x$的一个周期，故D错
误.故选A.

5. * (2025·吉林四平高一期末)“$ y = \tan(\omega x + \varphi) $的最小正周期为$ \pi $”是“$ \omega = 1 $”的(A)

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 5. A 解析：当$y = \tan(\omega x + \varphi)$的最小正周期为$\pi$时，有$\omega=\pm1$，
即充分性不成立;当$\omega = 1$时，$y = \tan(\omega x + \varphi)$的最小正周期为
$\pi$，即必要性成立;所以$``y = \tan(\omega x + \varphi)$的最小正周期为$\pi"$
是$``\omega = 1"$的必要不充分条件.故选A.

6. 函数$ y = \cos\left(\frac{k}{4}x + \frac{\pi}{3}\right)(k ＞ 0) $的最小正周期不大于2,则正整数$ k $的最小值应是(D)

A.10
B.11
C.12
D.13

答案： 6. D 解析：$\because T=\frac{2\pi}{k}=\frac{t}{k}\leq2$，$\therefore k\geq4\pi$.又$k\in\mathbf{Z}$，$\therefore$正整数$k$的
最小值为$13$.故选D.

7. 已知函数$ f(x) $的周期为$ 4\pi $,且$ f(\omega x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)(\omega ＞ 0) $,则$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) $的值与下列哪个函数值相等(C)

A.$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) $
B.$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $
C.$ f(\pi) $
D.$ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) $

答案： 7. C 解析：设$\omega x = t$，$\therefore x = \frac{t}{\omega}$，$\therefore f(t)=\sin(\frac{t}{\omega}+\frac{\pi}{6})$，即$f(x)=$
$\sin(\frac{1}{\omega}x+\frac{\pi}{6})$，由题意，得$4\pi = 2\pi\omega$，解得$\omega = 2$，即$f(x)=$
$\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$,$\therefore f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$f(\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$f(\frac{\pi}{2})=$
$\sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$f(\pi)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$f(\frac{2\pi}{3})=1$,$\therefore f(\frac{\pi}{3})=f(\pi)$.故选C.

8. 已知函数$ f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) $,若存在$ a \in (0, \pi) $,使得$ f(x + a) = f(x - a) $恒成立,则$ a $的值是(D)

A.$ \frac{\pi}{6} $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{\pi}{4} $
D.$ \frac{\pi}{2} $

答案： 8. D 解析：因为$f(x)=\sin(2x - \frac{\pi}{6})$，则函数$f(x)$的最小正周
期为$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，若存在$a\in(0,\pi)$，使得$f(x + a)=f(x - a)$，
则$f(x + 2a)=f(x)$，所以函数$f(x)$为周期函数，且$2a$为函数
$f(x)$的周期，所以$2a = k\pi(k\in\mathbf{Z},k\neq0)$，即$a=\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z},k\neq$
$0)$，因为$a\in(0,\pi)$，所以$a=\frac{\pi}{2}$.故选D.

9. (2025·湖南常德高一期末)若将函数$ f(x) = 3\tan\left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right)(\omega ＞ 0) $的图象向左平移$ \frac{3\pi}{4} $个单位长度后与原图象重合,则$ \omega $的最小值为$\frac{4}{3}$.

答案： 9. $\frac{4}{3}$ 解析：由题可知$\frac{3\pi}{4}$是该函数周期的整数倍，即$\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{\omega}×$
$k(k\in\mathbf{Z})$，解得$\omega=\frac{4k}{3}(k\in\mathbf{Z})$.又$\omega＞0$，故其最小值为$\frac{4}{3}$.故
答案为$\frac{4}{3}$.

10. 已知$ f(n) = 2\cos\frac{n\pi}{3} $,则$ f(0) + f(1) + f(2) + ·s + f(2025) = $$0$$$.

答案： 10. 0 解析：易知$f(n)$以$6$为周期.举例得$f(1)=2\cos\frac{\pi}{3}=1$，
$f(2)= - 1$，$f(3)= - 2$，$f(4)= - 1$，$f(5)=1$，$f(6)=2$，所以
$f(1)+f(2)+·s+f(6)=0$.又$2025 = 337×6 + 3$，所以$f(0)+$
$f(1)+f(2)+·s+f(2025)=337×0+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=$
$0$.故答案为$0$.